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Aufgabe:


ich weiß dass man eine Körpererweiterung konstruieren kann, damit eine Matrix trigonalisierbar wird. Jedoch weiß ich leider nicht wie man dabei vorgehen muss. Was ist zu tun?

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über welchem Körper soll denn die Matrix gegeben sein?

lul

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Eine Matrix ist trigonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom über dem betrachteten Körper in Linearfaktoren zerfällt.

Wenn du also eine Matrix mit Einträgen im Körper K hast, musst du nur einen Erweiterungskörper L|K finden, in welchem das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Ein geeigneter Kandidat für L ist also der Zerfällungskörper des charakteristischen Polynoms.

Avatar von 6,0 k

Nehmen wir zum Beispiel mal die Matrix

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$

über dem Körper \( K = \mathbb{Q} \). Ihr charakteristisches Polynom ist

$$ \chi_A = t^2 - 2 $$

und zerfällt über \( \mathbb{Q} \) offensichtlich nicht in Linearfaktoren. Die Nullstellen sind \( \alpha_1 = \sqrt{2} \) und \( \alpha_2=-\sqrt{2} \). Der Zerfällungskörper entsteht durch Adjunktion der Nullstellen:

$$ L = K(\alpha_1,\alpha_2) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $$

Über diesem ist die Matrix dann trigonalisierbar (hier sogar diagonalisierbar).

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