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Liebe Community!

Bei folgender Aufgabe habe ich große Probleme:

Bestimmen Sie eine Darstellung der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n}=\int \limits_{0}^{1} x^{n} \exp (-x) \mathrm{d} x \) (rekursiv oder geschlossen). Bestimmen Sie Weiteres für diese Folge die Grenzwerte (sofern sie existieren) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \) sowie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n a_{n}\right) \)


Meine Idee wäre, das Integral zu lösen und das Ergebnis als Gammafunktion darzustellen:

\( \int \limits_{0}^{1} x^{n} e^{-x} d x=\Gamma(n+1)-\Gamma(n+1,1) \quad \forall n : \operatorname{Re}(n)>-1 \)


Daraus kann ich dann durch einsetzen von \( n \) eine rekursive Folge erstellen, ich komme so für beide gesuchte Grenzwerte auf \( - \infty \). Bin hier auf dem richtigen Weg oder ist mein Lösungsansatz so inkorrekt?


Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe

Avatar von

Hallo,

die Integrale durch die Gamma-Funktion darzustellen, dürfte wohl nicht die erwartete Lösung sein. Jedenfalls sind die \(a_n\) alle positiv und können daher sicher nicht gegen \(-\infty\) konvergieren. Ich denke, Du sollst durch partielle Integration \(a_n\) durch \(a_{n-1}\) ausdrücken und ....

Gruß

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