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H2. Zeigen Sie, dass für Vektoren x, y, z ∈ R^n und Skalare λ, µ ∈ R gilt:
a) (x + y, z) = (x, z) + (y, z),
b) (λx, µy) = λµ(x, y).


Hallo, könnte jemand mir bei dieser Aufgabe helfen ?

von

3 Antworten

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hallo du musst einfach die  für Vektoren bekannten Regel n der Addition und des Skalarprodukts verwenden.

evt indem du  x=(x1,x2,....xn) benutzt

Gruß lul

von 53 k 🚀

Was genau sind die bekannten Regeln?

Gruß lulJunior

Vektorraum Regeln und Skalarproduktregeln. aber eigentlich weisst du wie man Vektoren addiert?

lul

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Zu a) Angenommen $$x = (\alpha_1, \dots, \alpha_n), ~y = (\beta_1, \dots, \beta_n), ~z=(\gamma_1, \dots, \gamma_n)$$

Dann ist $$(x+y, z) = ((\alpha_1 + \beta_1)\gamma_1 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)\gamma_n)$$

Das kann umgeformt werden zu $$(x+y, z) = (\alpha_1\gamma_1 + \beta_1\gamma_1 + \dots + \alpha_n\gamma_n + \beta_n\gamma_n)$$

Anschließend kann weiter umgeformt werden: $$(\alpha_1\gamma_1 + \dots + \alpha_n\gamma_n + \beta_n\gamma_n + \dots + \beta_1\gamma_1)=(\alpha_1\gamma_1 + \dots + \alpha_n\gamma_n) + (\beta_n\gamma_n + \dots + \beta_1\gamma_1)$$

Daraus ergibt sich $$(x+y) + (\beta_n\gamma_n + \dots + \beta_1\gamma_1) = (x, z) + (y, z)$$

Damit ist der Beweis fertig


Zu b) x und y sind wie in a) definiert und wir haben die Skalare λ1 und λ2.

$$(\lambda_1x, \lambda_2y) = ((\lambda_1\alpha_1)(\lambda_2\beta_2) + \dots + (\lambda_1\alpha_m)(\lambda_2\beta_m))$$

$$= ((\lambda_1\lambda_2)(\alpha_1\beta_1) + \dots + (\lambda_1\lambda_2)(\alpha_n\beta_n)) = (\lambda_1\lambda_2)(\alpha_1\beta_1 + \dots + \alpha_n\beta_n) = (\lambda_1\lambda_2)(x, y)$$


von
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von

Warum soll das alles weg?
Fragt doch nichts, wenn ihr dann eh alles wieder löscht

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