Dass
(x2−y2)2+(2xy)2=(x2+y2)2
Ist offensichtlich, denn
(2xy)2=(x2+y2)2−(x2−y2)24x2y2=(x2+y2)2−(x2−y2)24x2y2=x4+2x2y2+y4−(x4−2x2y2+y4)4x2y2=4x2y2
Es lassen sich zwar alle Pythagoreischen Zahlentripel bilden, doch nicht alle gebildeten Zahlen sind Pythagoreischen Zahlentripel. Dazu müssen noch folgende Bedingungen gelten.
x,y dürfen keine gemeinsamen Teiler haben und x oder y muss gerade sein.
x>y wurde schon erwähnt.
Nun zum Beweis.
Damit a,b und c keine gemeinsamen Teiler haben, dürfen sie nicht alle drei gerade sein.
a,b können weder beide gerade, noch beide ungerade sein.
Es sei a gerade und b ungerade, dann folgt c ist ungerade.
a2+b2=c2a2=c2−b2
Wenn nun c, b ungerade sind, dann existiert
m=(c+b)/2
Und d
c−m=d=m−bc=m+db=m−da=2k
Nun soll
a2=c2−b2(2k)2=(m+d)2−(m−d)24k2=4mdk2=md m,d müssen teilerfremd sein
m∣k2→m=x2∣k2d∣k2→d=y2∣k2k2=x2y2k=xy
Damit haben wir die Behauptung.
a=2xyb=(x2−y2)c=(x2+y2)
Damit haben wir unter den genannten Bedingungen alle Pythagoreischen Zahlentripel a ; b ; c gefunden,