Ableitung der Funktion f mit x0 = 2

Question

Aufgabe:

Bestimme die näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x_{0 =  2} mithilfe des Differenzquotienten für h -> 0 wie im Beispiel a)

c) f(x) = 2x² - 3

Comments

Was verstehst du an dem Beispiel nicht?

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Ich verstehe diese Aufgabe nicht weil unsere Lehrerin gibt uns einfach eine Aufgabe und wir sollen die lösen

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Das heißt, da ist gar kein Beispiel, obwohl in der Aufgabenstellung explizit ein Beispiel erwähnt wird?

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a) f(x) = x²

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Und zu a) ist doch auch eine Lösung angeben, oder?

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Das ist alles was da steht

Answer 1

f(x) = 2x² - 3

Differenzquotient  (f(2+h) - f(2) ) / h

        =( 2*(2+h)² - 3 - 5 ) / h

       = (8h + 2h² ) / h

         = 8+2h   für h gegen 0 geht das gegen 8.

Answer 2

Ableitung der Funktion f

Das ist die Steigung der Tangente.

Bestimme näherungsweise

Die Tangente kann durch eine Sekante angenähert werden.

Für eine Sekante benötigt man zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen.

an der Stelle x₀ =  2

Der eine Punkt hat die Koordinaten $(2 | f(2))$.

für h -> 0

Der zweite Punkt hat die Koordinaten $(2 + h | f(2+h))$.

Die zwei Punkte setzt man in die Formel

        $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

oder auch

      $m = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

ein, die du noch aus der Unterstufe kennst als ihr lineare Funktionen besprochen habt. Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Formel heißt Differenzenquotient.

Durch Einsetzen der Punkte bekommt man

      $m = \frac{f(2+h) - f(2)}{2+h - 2}$

was sich vereinfachen lässt zu

      $m = \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$.

Jetzt setzt man den Funktionsterm ein

      $m = \frac{(2(2+h)^2 - 3) - (2\cdot2^2 - 3)}{h}$

und vereinfacht

      $m = \frac{2(2+h)^2 - 8}{h}$.

Um aus dieser Sekantensteigung die Tangentensteigung zu bekommen, müssen die zwei Punkte unendlich nahe beieinander liegen. Das heißt $h = 0$. Im Moment kann man das aber nicht einsetzen, weil da ein $h$ im Nenner steht und man nicht durch 0 teilen kann. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man das reparieren kann

1. Man setzt für $h$ Werte ein, die immer näher an der $0$ liegen. Man füllt also z.B. folgende Tabelle aus

   $h$	$\frac{2(2+h)^2 - 8}{h}$
   $0{,}1$
   $0{,}01$
   $0{,}001$
   $\dots$

   Nun schätzt man anhand der rechten Seite, was wohl die Tangentensteigung ist.

2. Man formt den Term $\frac{2(2+h)^2 - 8}{h}$ so um, dass man $h=0$ einsetzen kann und setzt dann $h=0$ ein.

Die erste Möglichkeit liefert eine Schätzung, also eine Näherungslösung. Die zweite Möglichkeit liefert das exakte Ergebnis.