Text erkannt:
Es sei \( \sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right) \in S_{4} \) eine Permutation und
$$ \mathcal{L}_{\sigma}: \mathbb{C}^{4} \rightarrow \mathbb{C}^{4}, \quad \mathcal{L}_{\sigma}\left(e_{i}\right)=e_{\sigma(i)} $$
die zugehörige Permutationsabbildung. Dabei ist \( \mathcal{E}=\left(e_{1}, e_{2} \cdot e_{3}, e_{4}\right) \) die kanonische Basis des \( \mathbb{C}^{4} \).
(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( A:=M_{\mathcal{E}}(\mathcal{L}) \) von \( \mathcal{L} \) bezüglich der kanonischen Basis \( \mathcal{E} \) des \( \mathbb{C}^{4} \)
(b) Bestimmen Sie die komplexen und reellen Eigenwerte von \( A \) und deren algebraische und geometrische Vielfachheiten.
(c) Bestimmen Sie zu den reellen Eigenwerten je einen Eigenvektor.
