Linearisieren Sie f um die Punkte x1 = −1 und x2 = 0, Verständnisfrage.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f ∶[−2,1]→R mit f(x)=(x² −0.5)e^−x

Linearisieren Sie f um die Punkte x1 = −1 und x2 = 0.

Problem/Ansatz:

Mir ist bekannt, dass dies die Formel ist: fT(x) = f(x0)+ f′(x0)(x−x0).

f′(x) = 2xe^−x − (x² − 0.5)e−x = e^−x(2x − x² + 0.5).

Aber nun steht in der Lösung " Linearisierung von f um x1 = −1:"

Wie kommt man denn auf diese -1? Wenn doch [−2,1] gegeben sind?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Die Tangente an eine Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\) lautet:$$f_{(x_0)}(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Wir brauchen also den Wert der Funktion und den Wert der Ableitung am Entwicklungspunkt \(x_0\).$$f(x)=\left(x^2-\frac{1}{2}\right)\,e^{-x}$$$$f'(x)=2x\,e^{-x}-\left(x^2-\frac{1}{2}\right)\,e^{-x}=-e^{-x}\left(x^2-2x-\frac{1}{2}\right)$$

a) Enwicklung um den Punkt \(x_1=-1\)$$f(-1)=\frac{e}{2}\quad;\quad f'(-1)=-\frac{5e}{2}$$$$f_{(-1)}(x)=f(-1)+f'(-1)\cdot(x-(-1))=\frac{e}{2}-\frac{5e}{2}\cdot(x+1)=-\frac{5e}{2}\,x-2e$$

b) Enwicklung um den Punkt \(x_2=0\)$$f(0)=-\frac{1}{2}\quad;\quad f'(0)=\frac{1}{2}$$$$f_{(0)}(x)=f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot(x-0)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$$

Answer 2

Die -1 ist das xo aus der Formel. Das andere ist der Definitionsbereich.

Comments

Linearisierung von f um x₂ = 0?

Müsste dies nicht dann = 2 sein?

danke für deine Hilfe :)

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x_o x₁ x₂  sind einfach Namen für bestimmte x-Werte. Der Wert, den

du dann einsetzen musst ist immer der hinter dem Gleichheitszeichen.

Also bei x₂=0 musst du 0 einsetzen.