Beweisen - Graph von f und Normalparabel keine gemeinsamen Punkte

Question

Hallo, ich frage heute glaub ich zu viel, aber ich verstehe nicht :(

Wie beweise ich, dass der Graph f(x) = 0,75e^x+x²-2x+1 und die Normalparabel keine gemeinsamen Punkte haben?

Answer 1

Aloha :)

Wenn der Graph von $f(x)$ die Normalparabel schneiden soll, muss gelten:$$f(x)\stackrel!=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{3}{4}e^x+x^2-2x+1=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{3}{4}e^x-2x+1=0$$Wir müssen also prüfen, ob die Funktion$$g(x)\coloneqq\frac{3}{4}e^x-2x+1$$Nullstellen hat. Das tun wir indirekt, indem wir die Extrema der Funktion suchen:

$$g'(x)=\frac{3}{4}e^x-2\stackrel!=0\quad\implies\quad\frac{3}{4}e^x=2\quad\implies\quad e^x=\frac{8}{3}\quad\implies\quad x=\ln\left(\frac{8}{3}\right)$$$$g''(x)=\frac{3}{4}e^x\quad\implies\quad g''\left(\ln\left(\frac{8}{3}\right)\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}=2>0\implies\text{Minimum}$$$$g\left(\ln\left(\frac{8}{3}\right)\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}-2\ln\left(\frac{8}{3}\right)+1=3-2\ln\left(\frac{8}{3}\right)\approx1,038$$Unsere Hilfsfunktion $g(x)$ hat also einen minimalen Wert von $1,038$, kann also niemals $=0$ werden. Daher haben $f(x)$ und die Normalparabel $x^2$ keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

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f₁(x) = 0,75·e^x+x²-2x+1f₂(x) = x²Zoom: x(-3…3) y(-1…8)

Die Hilfsfunktion $g(x)$ sieht so aus:

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f₁(x) = 3/4·e^x-2x+1Zoom: x(-3…3) y(0…7)

Comments

Du bist meine Rettung, vielen Dank!!