Berechnen Sie eine Jordannormalform von f (ohne Jordanbasis).

Question

Sei

$A=\left(\begin{array}{llll} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(4, \mathbb{R})$
und $f: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4}$ mit $f(x)=A x$
(a) Berechnen Sie eine Jordannormalform von $f$ (ohne Jordanbasis).

(b) Ist $A$ ähnlich zu
$C=\left(\begin{array}{llll} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right) ?$

Weiß jemand, wie man hier vorgeht?

Answer 1

Naja, wie geht man vor um eine Jordanform zu finden?

Eigenwerte berechnen λ=4

Eigenräume berechnen |A - 4 id| = 0 ===> Dim=2

alg. ≠ geom. Vielfachheit ==> Hauptvektorsuche

Suche HV ∈ Kern (A - λE)^N mit dim Kern (A - λ id)^N = n ∧ HV ∉ Kern (A-λid)^(N-1)

==> N=3

$\small HVKandidaten1 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)$

HV3={0,0,0,1}^T ∉ Kern (A-λE)^(N-1)

HV2= (A - 4 id) HV3 = {3,2,1,0}^T

HV1=(A - 4 id) HV2 = {4,0,0,0}^T

2.Stufe

(A - λE)^(N-2)

$\small HVKandidaten2 \, := \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-2\\0&1\\0&0\\\end{array}\right)$

HV4={0,-2,1,0}^T ∉ Kern (A-λE)

===>

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}4&3&0&0\\0&2&0&-2\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\\end{array}\right)$

==>

$\small D \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}4&1&0&0\\0&4&1&0\\0&0&4&0\\0&0&0&4\\\end{array}\right)$