Zeigen Sie, dass der Raum F(X) genau dann ein endlich dimensionaler Vektorraumist falls X endlich ist.

Question

Aufgabe:

Sei X eine Menge und F(X) der Vektorraum der Funktionen vonX→R. Zeigen Sie, dass der Raum F(X) genau dann ein endlich dimensionaler Vektorraumist falls X endlich ist.

Comments

Betrachte für \( x \in X \) die Funktion

$$ f_x ~:~ X \to \mathbb R,~~y \mapsto \begin{cases} 1, & \text{falls } x = y\\ 0, &\text{sonst}\end{cases} $$

Man rechnet leicht nach, dass \( (f_x)_{x\in X} \) linear unabhängig ist (und zwar unabhängig von der Kardinalität von X). Und falls X endlich sogar ein Erzeugendensystem.

Den Rest kann man sich dann aus diesen beiden Aussagen herleiten.

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Wie rechnet man das nach? Haben Sie einen rechenweg