Inductionsbeweis über n

Question

Aufgabe:

Beweisen sie Per induktion über n dass die folgende aussage A(n) für alle n Großer gleich 0 gilt:

A(n)

\(\sum\limits_{i=0}^{n}{2*3^i}=3^{n+1}-1 \)
Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe so angefangen indem ich

A(0) :\( \sum\limits_{i=0}^{0}{} \) 2 * 3^i = 0 gesetzt ist das so richtig

Mg

Dilara

Comments

Irgendwie ist deine Schreibweise unverständlich.

Die Aussage

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n*2*3^i}=3^{n+1}-1 \)

stimmt nicht. Korrigiere das mal.

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Ich entschuldige mich dafür ich kann nur Foto schicken was aber hier nicht erlaubt ist

Aber sie haben es richtig I

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Naja, richtig war es nicht. Aber ich habe ein wenig rumprobiert, es lautet

\(\sum\limits_{i=0}^{n}{2*3^i}=3^{n+1}-1 \) ;)

Answer 1

Ich habe die Aufgabe so angefangen indem ich A(n) :\( \sum\limits_{i=0}^{n}{} \) 2 * 3^i = 0 gesetzt ist das so richtig?

Nein, ein Induktionsbeweis beginnt mit den Induktionsanfang also für n=0: Dann gilt 0=1-1.

Dann muss unter der Voraussetzung, dass die Formel für ein endliches n gilt, gezeigt werden, dass sie auch für n+1 gilt.

Answer 2

Dein Ergebnis 0 ist falsch.

A(0) : n=0, n+1=1

\( \sum\limits_{i=0}^{0}{} \) 2 * 3^i = 2, denn 3^0=1

3^1 -1 = 2

So ist der Induktionsanfang richtig.

:-)

Induktionsschritt:

A(n):

\(\sum\limits_{i=0}^{n}{2*3^i}=3^{n+1}-1 \) sei richtig.

Gilt dann auch A(n+1)?

\(\sum\limits_{i=0}^{n+1}{2*3^i}\\= \sum\limits_{i=0}^{n}{2*3^i}+2*3^{n+1}\\=3^{n+1}-1 +2*3^{n+1}\\=3*3^{n+1}-1\\=3^{n+2}-1 \)