Polardarstellung; komplexe Zahlen

Question

Polardarstellung: Wie berechne ich:

Vielleicht sieht das alles schlimmer aus als es ist, aber ich finde gerade überhaupt keinen Ansatz. Hilfe wäre super Lieb :)

Answer 1

Hallo Kathi,

Vielleicht sieht das alles schlimmer aus als es ist, ..

Ja tatsächlich! Nehmen wir den ersten Summanden:$$-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 6} = -\frac 1{\sqrt 2} = - \sqrt{\frac 12}$$Nun weißt Du vielleicht, dass $$a + ib = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r\cdot e^{i \varphi}, \quad r = \sqrt{a^2+b^2}$$und hier ist doch nun$$a=b = -\sqrt{\frac 12} \implies r=1 \\ \implies \cos \varphi = \sin \varphi = - \sqrt{\frac 12} \implies \varphi = -\frac 34 \pi$$was man am leichtesten sehen kann, wenn man sich das am Einheitskreis verdeutlicht

Wenn man in einem Einheitskreis einzeichnet, wo der Cosinus (rot) und der Sinus (gelb) den Wert von $-\sqrt{1/2}$ einnehmen, kommt man zu obigen Bild. Wenn man das dort sichtbare Quadrat ergänzt, wird deutlich, dass beide Strecke jeweils die halbe Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge $1$ sind.

Der zugehörige Winkel $\varphi$ (blau) ist genau $3/4$ eines Halbkreises in negativer Drehrichtung. Also$$\varphi= - \frac 34 \pi$$Wenn man nun noch weiß, dass $$e^{i2\pi} = 1$$ ist (das ist der Vollkreis) dann wird aus der Aufgabe$$\begin{aligned} \left( \frac{-\sqrt 3}{\sqrt 6} - i \sqrt{\frac 12}\right)^{2016}&= \left( -\sqrt{\frac 12} - i \sqrt{\frac 12}\right)^{2016} \\ &= \left( \cos\left( -\frac 34 \pi\right) + i \sin\left( -\frac 34 \pi\right)\right)^{2016} \\&= \left( e^{-3\pi/4}\right)^{2016} \\&= e^{-1512 \pi} \\ &= \left( e^{2\pi}\right)^{-756} \\&= 1^{-756} \\&= 1\end{aligned}$$

Answer 2

Die Darstellung hat die Länge 1, denn $\sqrt{Re^2+Im^2}$=1. Das Potenzieren gelingt mit dieser Darstellung:

Answer 3

Betrag ist 1 und arg= 5pi/4.

Damit kannst du leicht potenzieren