Wir betrachten den \( \mathbb{R}^{3} \). Es sei \( D_{1}^{\alpha}, D_{2}^{\alpha}, D_{3}^{\alpha} \) jeweils eine Matrix, die jeweils mit Winkel \( \alpha \) um die Koordinatenachse \( e_{1}, e_{2}, e_{3} \) der Standardbasis dreht. Kreuzen sie alle richtigen Antworten an.
Antworten:
1. \( D_{1}^{\alpha} \) ist invertierbar für alle \( \alpha \).
2. Die Determinante von \( D_{1}^{\alpha} D_{2}^{\beta} \) ist \( 1 . \)
3. \( D_{3}^{\alpha} \) ist Diagonalisierbar für \( \alpha=270^{\circ} \)
4. Es gilt \( D_{1}^{\alpha} D_{2}^{\beta} = D_{2}^{\beta} D_{1}^{\alpha} \). d. h. die Drehungen kommutieren untereinander.
5. Es gilt \( \left\langle D_{1}^{\alpha} D_{2}^{\alpha} u, D_{1}^{\alpha} D_{2}^{\alpha} v\right\rangle = \langle u, v\rangle \) für alle \( u, v \in \mathbb{R}^{3} \).
