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Zeige: die Vektoren x= (1,0,2), y=(0,1,3), z=(-1,0,4) bilden eine Basis des R^3. Drücke jeden Vektor der Standardbasis als Linearkombination von x,y,z aus.

 

Bin über jede Hilfe dankbar!
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Wenn hier der zweite Teil der Aufgaben gelingt, erübrigt sich der erste.

Da dann bereits gezeigt ist, dass die drei Vektoren R3 aufspannen und deshalb linear unabhängig sind.

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Wir müssen zeigen dass die gegebenen Vektoren linear unabhängig ist. 

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) = (-1,0,4)

aus der ersten Zeile folgt

1r + 0s = -1
r = -1

aus der zweiten Gleichung folgt

0r + 1s = 0
s = 0

damit ergibt sich für die dritte Zeile

2r + 3s = 4
2*(-1) + 3*0 = 4
-2 = 4

Das ist nicht erfüllt und damit sind die Vektoren linear unabhängig.

 

Nun sollen wir die Standardbasis (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) mit unseren Vektoren darstellen

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) + t * (-1,0,4) = (1,0,0)

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und lässt sich nach dem Gauß lösen. Die Lösung lautet:

r = 2/3 ∧ s = 0 ∧ t = - 1/3
2/3 x - 1/3 z = (1,0,0)

Das gleiche machen wir noch mit den anderen Standardbasen

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) + t * (-1,0,4) = (0,1,0)
r = - 1/2 ∧ s = 1 ∧ t = - 1/2
-1/2 x + y - 1/2 z = (0,1,0)

r * (1,0,2) + s * (0,1,3) + t * (-1,0,4) = (0,0,1)
r = 1/6 ∧ s = 0 ∧ t = 1/6
1/6 x + 1/6 z = (0,0,1)
 

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Gefragt 12 Jan 2013 von Gast

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