Bestimmen Sie F(e1), F(e2) und F(e3).

Question

Aufgabe:

Sei $F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ die lineare Abbildung mit $\mathbf{f}_{1}=F\left(\mathbf{m}_{1}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{f}_{2}=F\left(\mathbf{m}_{2}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ und $\mathbf{f}_{3}=F\left(\mathbf{m}_{3}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) .$

mit $\mathbf{m}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \mathbf{m}_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ und $\mathbf{m}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$,
(a) Stellen Sie $\mathbf{e}_{1}=(1,0,0)^{T}, \mathbf{e}_{2}=(0,1,0)^{T}$ und $\mathbf{e}_{3}=(0,0,1)^{T}$ als Linearkombination von $\mathbf{m}_{1}, \mathbf{m}_{2},$ und $\mathbf{m}_{3}$ dar.
(b) Bestimmen Sie $F\left(\mathbf{e}_{1}\right), F\left(\mathbf{e}_{2}\right)$ und $F\left(\mathbf{e}_{3}\right)$.

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man die (b)? Ich weiß gar nicht was man damit machen soll.. was ist mit F() gemeint?

Comments

Normalerwiese ist $F$ eine Abbildungsvorschrift, das könnte z.B. eine Matrix sein. Ist so etwas in der Aufgabenstellung angegeben?

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Nein da steht gar nichts leider..

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Ich habe die komplette aufgabestellung reingestellt.. wissen Sie wie es geht?

Answer 1

Aloha :)

Ja, damit kann ich was anfangen.

(a) Hier sollen wir die Vektoren $\vec e_i$ durch die Vektoren $\vec m_i$ darstellen:$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=-\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\frac{2}{3}\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

(b) Wir wissen, dass $F$ eine lineare Abbildung ist, die wir durch eine Matrix $F$ ausdrücken können. Wir kennen $3$ Funktionswerte:

$$F\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\;;\;F\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\;;\;F\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Diese drei Gleichungen fassen wir zu einer Matrix-Gleichung zusammen:

$$F\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}$$Die Matrix $F$ erhalten wir durch Multiplikation mit der Inversen von rechts:

$$F=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}$$Wegen Teil (a) brauchen wir die Inverse gar nicht groß auszurechnen, sondern können sie anhand der Koeffizienten direkt ablesen:

$$F=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 2 & 1\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{4}{3}\\[0.5ex]\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3} & \frac{4}{3} & -\frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Jetzt brauchen wir nur noch die Einheitsvektoren auf die Matrix $F$ anzuwenden. Das ist aber einfach, weil der $i$-te Einheitsvektor genau die $i$-te Spalte aus der Matrix liefert:

$$F(\vec e_1)=\left(\begin{array}{r}\frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3}\end{array}\right)\quad;\quad F(\vec e_2)=\left(\begin{array}{r}-\frac{1}{3}\\[0.5ex]\frac{2}{3}\\[0.5ex]\frac{4}{3}\end{array}\right) \quad;\quad F(\vec e_3)=\left(\begin{array}{r}\frac{4}{3}\\[0.5ex]\frac{1}{3}\\[0.5ex]-\frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Comments

Dankeschön! :)