Bestimmen Sie L(e1), L(e2) und L(e3) und folgern Sie die darstellende Matrix von L bzgl.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten ℝ³ mit der Basis v₁=(0,0,1), v₂=(0,1,2), v₃=(1,2,3).

Wir definieren eine lineare Abbildung L: ℝ³→ℝ³ durch L(v₁)=v₁, L(v₂)=v₁+2v₂ sowie L(v₃)=v₁+2v₂+3v₃. Sei e₁, e₂, e₃ die Standardbasis von ℝ³.

Bestimmen Sie L(e₁), L(e₂) und L(e₃) und folgern Sie die darstellende Matrix von L bzgl. der Standardbasis.

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

leider verstehe ich zuerst nicht, wie sich aus der gegeben linearen Abbildung L(e₁), L(e₂) und L(e₃) berechnen lässt. Führt man die Schritte analog für die Vektoren der Standardbasis aus? Heißt L(e₂) = (1,0,0)+2(0,1,0) oder wie wende ich die Abbildung an? Vllt könnte bitte jemand beispielhaft die Anwendung der Abbildung an L(e2) zeigen?

Zur darstellenden Matrix: Mir sind lediglich Aufgaben bekannt, bei denen 2 Basen gegeben sind und dann berechne ich dort zuerst die Bilder der Basisvektoren der ersten Basis, indem ich die Funktion/Abbildung auf die Vektoren der ersten Basis anwende und anschließend die Bilder der Koordinatenvektoren bzgl. der anderen Basis darstelle. Aus dem entstehen LGS dann die Vektoren für die darstellende Matrix berechnen. Ist das Vorgehen hier ähnlich und ich verstehe nur die Abbildung nicht richtig?

Ich freue mich über jede Hilfe!

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

JP

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Koordinaten der Vektoren \(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\) sind bezüglich der Standardbasis \(S=(\vec e_1;\vec e_2;\vec e_3)\) angegeben, denn zum Zeitpunkt ihrer Definition ist keine andere Basis bekannt:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$$

Die Abbildungsvorschrift \(L\) ist gegeben durch$$L(\vec v_1)=\vec v_1\quad;\quad L(\vec v_2)=\vec v_1+2\vec v_2\quad;\quad L(\vec v_3)=\vec v_1+2\vec v_2+3\vec v_3$$Das können wir vektoriell schreiben:$$\small\underline{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\quad;\quad \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0+2\cdot0\\0+2\cdot1\\1+2\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}\quad;\quad \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0+2\cdot0+3\cdot1\\0+2\cdot1+3\cdot2\\1+2\cdot2+3\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\8\\14\end{pmatrix}$$

Wir wissen also bereits, dass \((0;0;1)^T\mapsto(0;0;1)^T\) abgebildet wird.

Wegen der Linearität von \(L\) folgt für die anderen Standardbasisvektoren:$$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\stackrel{L(\cdots)}{\implies}\underline{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mapsto\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\underline{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}$$

$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\stackrel{L(\cdots)}{\implies}\underline{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\mapsto\begin{pmatrix}3\\8\\14\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\underline{\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$$

Die gesuchte Abbildungsmatrix für \(L\) in der Standardbasis enthält die Bilder der Basisvektoren:$$L=\left(\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0\\4 & 2 & 0\\5 & 3 & 1\end{array}\right)$$

Comments

Vielen Dank für die Ausführlichkeit!!

Alles verstanden!

Answer 2

Es ist v₁=e₃, also wegen L(v1)=v1, ist die 3.Spalte der gesuchten Matrix schon klar:

\(   \begin{pmatrix} ? & ? & 0 \\ ? & ? & 0 \\ ? & ? & 1 \end{pmatrix}  \)

Comments

Das lässt sich aber nicht auf die anderen beiden übertragen, da L(v2)=(0,2,5) und L(v3)=(3,8,14).

Bitte um weitere Hilfe, anscheinend stehe ich hier auf dem Schlauch...

Answer 3

Drücke die Standardbasisvektoren durch die Basis
\(v_1,v_2,v_3\) aus. Man bekommt:$$e_1=v_3-2v_2+v_1\\e_2=v_2-2v_1\\e_3=v_1$$
Da \(L\) linear ist, dürftest du bei der Berechnung der \(L(e_i)\)
kein Problem haben.

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Vielen Dank!