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Aufgabe:

Stets seien K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, δ ∈ Aut(K) und f eine φ-Bilinearform.

Seien K := ℝ, V : =ℝ3  und e1:=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3 :=(0,0,1). Weiter sei φ∈ End(V) gegeben durch folgende Bilder:

e1φ = e2, e2φ = e3 und e3φ =e1.

Zeigen Sie, dass 1 ein Eigenwert für φ ist, und finden Sie eine ℝ-Basis für den Eigenraum U zu 1 in V.

Bitte um Hilfe.

von

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Beste Antwort

Matrix ist M =  0    0    1;
                       1    0    0
                        0    1    0

Und det ( M -x*E) = 1-x^3 hat Nullstelle 1, also

1 Eigenwert und für die Basis bestimme Lösungsraum

von  (M - E)*x    =  0

gibt  mit Gauss    1     0    -1
                             0    1    -1
                             0     0    0

also  x = (  t ; t ; t )^T eine Basis also etwa (1;1;1)^T

von 176 k 🚀

Danke dir.

Vielleicht kannst du mir hier auch noch helfen.


Erklären Sie kurz, inwiefern φ anschaulich eine Drehung des Koordinatensystems ist. Dabei kann der Eigenraum U aus der Aufgabe oben als Drehachse interpretiert werden. Was ist der Drehwinkel und Richtung?


Danke

Der Eigenraum besteht aus allen Punkten mit drei gleichen

Koordinaten. Das entspricht einer Geraden durch den Ursprung mit dem

 Richtungsvektor (1;1;1)^T .

Die Punkte auf dieser Geraden bleiben alle fest, das ist also die Drehachse.

Dazu senkrecht ist z.B. der Vektor (1 ; 0 ; -1)^T .

Dessen Bild ist   (-1 ; 1 ; 0)^T .  Der Winkel zwischen den beiden ist α mit

cos(α) = (  (1 ; 0 ; -1)^T *  (-1 ; 1 ; 0)^T )  / ( ( 1 ; 0 ; -1)||*|| (-1 ; 1 ; 0)|| )

           = -1 / (√2 * √2 )  = -1/2  .

Also Drehung um 120° gegen den Uhrzeigersinn.

Hab dazu noch zwei Fragen. Vielleicht kannst du mir da auch helfen.

Seien f das Standardskalarprodukt auf V, v0  :=(1,-1,0) und svo die Spiegelung zu v0 bezüglich f. Bestimmen Sie die Bilder von e1, e2, und e3 unter svo!

Zeigen Sie, dass φ als Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen geschrieben werden kann.


Danke.

könntet ihr mir bitte weiterhelfen.

Bestimmen Sie die Bilder von e1, e2, und e3 unter svo!

Bild von e1 ist  ( 0;-1;0)^T

Kannst du z.B. bestimmen durch

Mittelpunkt von (1;0;0) und seinem Bild (a;b;c)

muss auf der Geraden durch (0;0;0) und (1,-1,0) liegen.

Und ||(a;b;c)|| = 1

Also  (1+a;b;0)/2 = x*(1,-1,0)

          und a^2 + b^2 + c^2 = 0

==>   x=1/2  .

Entsprechend Bild von e2 ist  ( -1;0;0)^T  .

und Bild von e3 ist  ( 0;0;-1)^T  .

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