Aloha :)
Da ich denke, dass dir noch nicht wirklich geholfen wurde, versuche ich mal eine Antwort...
Zur Angabe des Kerns musst du folgende Gleichung lösen:$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 5 & 0 & 4 & 8\\0 & 1 & 3 & 0 & 4 & 2\\0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Jetzt hast du in der Koeffizientenmatrix schon 3 "besondere" Spalten, die genau eine Eins enthalten und sonst nur Nullen. Daher kannst du die Lösungen sofort ablesen. Damit du das erkennst, scheiben wir das Gleichungssystem mal aus:$$1\cdot x_1+0\cdot x_2+5\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+8\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+1\cdot x_2+3\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+2\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+1\cdot x_4+3\cdot x_5+1\cdot x_6=0$$
Jetzt rahmen wir die Einsen aus den 3 "besonderen" Spalten mal ein:$$\boxed{1}\cdot x_1+0\cdot x_2+5\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+8\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+\boxed{1}\cdot x_2+3\cdot x_3+0\cdot x_4+4\cdot x_5+2\cdot x_6=0$$$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+\boxed{1}\cdot x_4+3\cdot x_5+1\cdot x_6=0$$und stellen die 3 Gleichungen so um, dass nur diese eingerahmten Werte links stehenbleiben:$$\boxed{1}\cdot x_1=-5\cdot x_3-4\cdot x_5-8\cdot x_6$$$$\boxed{1}\cdot x_2=-3\cdot x_3-4\cdot x_5-2\cdot x_6$$$$\boxed{1}\cdot x_4=-3\cdot x_5-1\cdot x_6$$
Damit können wir nun alle Vektoren aus dem Kern hinschreiben:
$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\cdot x_3-4\cdot x_5-8\cdot x_6\\-3\cdot x_3-4\cdot x_5-2\cdot x_6\\x_3\\-3\cdot x_5-1\cdot x_6\\x_5\\x_6\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-5\\-3\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}-4\\-4\\0\\-3\\1\\0\end{pmatrix}+x_6\begin{pmatrix}-8\\-2\\0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$
Die drei Spaltenvektoren hinter \(x_3\), \(x_5\) und \(x_6\) bilden zusammen eine Basis des Kerns und damit auch ein Erzeugendensystem des Kerns.
