Bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom Tn von f mit Entwicklungspunkt x0 = 0

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion
f : R\{−1} → R, x →$\frac{1}{1+x}$

Bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom T_n von f mit Entwicklungspunkt x₀ = 0.

Problem/Ansatz:

Die Thematik der Taylorreihe und des Polynoms sind mir bekannt. Da wir keine genaue Angabe zum Grad des Polynoms haben, müssen wir allgemein für n bestimmen so viel ist mir klar. Zunächst wäre es sinnvoll die Ableitungen von f zu bilden.

f'(x)= -$\frac{1}{x+1^{2}}$

f''(x)= $\frac{2}{x+1^{3}}$

f'''(x)= -$\frac{6}{x+1^{4}}$

Daraus lässt sich die Idee einer allgemeinen Form bilden fⁿ(x)=$\frac{y}{x+1^{n+1}}$ Dabei habe ich noch Schwierigkeiten alles über dem Bruchstrich zu verallgemeinern (y).

Kann mir jemand dabei / bei den weiteren Schritten helfen?

Danke

Comments

Die Identifizierung von Deinem y wird erleichtert, wenn Du die Ableitungen nicht "ausrechnest" (beachte die Klammern im Nenner, notwendig! Sonst 0 Punkte)

$$f'(x)=\frac{(-1)}{(1+x)^2} \quad f'"(x)=\frac{(-1)(-2)}{(1+x)^3}$$

$$f'''(x)=\frac{(-1)(-2)(-3)}{(1+x)^4} \quad f''''(x)=\frac{(-1)(-2)(-3)(-4)}{(1+x)^5}$$

Denk auch an die Fakultäten.

PS: Ein einfacherer Weg wäre, die funktion als geometrische Reihe darzustellen.

Gruß

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Vielen Dank für den schnellen Tipp MathePeter!

Daran hatte ich gar nicht gedacht. Die Klammern sind mir bei der Formatierung untergegangen, würde sie sonst immer hinschreiben, aber danke für den Hinweis.

Daraus folgt also die Form für fⁿ(x)=$\frac{-n!}{(x+1)^{n+1}}$

wenn x₀=0

T_n(x) =$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{n}*0}{n!}}$*(x-0)ⁿ

Wenn man unser fⁿ(x) betrachtet kommt man allerdings beim kürzen nur auf 0...

Wo liegt jetzt mein Denkfehler?

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Hallo,

Du hast die Minus-Zeichen bei der Ableitung falsch verarbeitet, muss sein $(-1)^n$.

Du solltest auch Deine Darstellung der Taylor-Reihe mal kontrollieren. Jeden falls ist $f^{(n)}(0) \neq 0$

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So ich denke ich hab den Fehler gefunden.

Statt f'(x)= -$\frac{1}{x+1^{2}}$ zu schreiben forme ich den Bruch für alle Ableitungen um zu

f'(x)= -$(x+1)^{-2}$ etc.

Dann komme ich auf die Form von fⁿ(x₀)=(-1)ⁿ* $\frac{n!}{(x+1)^{n+1}}$ =(-1)ⁿ* $\frac{n!}{(0+1)^{n+1}}$ =(-1)ⁿ* $\frac{n!}{1}$ =

T_n(x)= $\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{(-1)^{n}*n!}{k!}}*x^{k}$.

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Wenn Du jetzt noch n für k schreibst, kommen wir dem Endergebnis nahe.

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Uups: Es musss k für n heißen

MathePeter

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Ja das hatte ich übersehen. Vielen Dank MathePeter, du hast mir sehr geholfen.

Answer 1

Wenn sich eine bel. oft diffbare Funktion durch eine Potenzreihe um $x_0$

darstellen lässt, ist diese Reihe die Taylor-Reihe der Funktion mit

Entwicklungspunkt $x_0$. Hier ist $x_0=0$.

Nun ist $f(x)=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{i=0}^{\infty}(-x)^i=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i x^i$.

das $n$-te Taylorpolynom ist also $T_n(f)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i x^i$.