Grenzwert ähnlich geometrische Reihe

Question

Aufgabe:

Zeige für alle $${\displaystyle q\in \mathbb {R} }mit {\displaystyle |q|<1} die Gleichung {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(k+1)q^{k}={\frac {1}{(1-q)^{2}}}}$$

Problem/Ansatz:

Ich habe an der Aufgabe schon länger rumprobiert, jedoch bin ich leider nie wirklich auf die Lösung gekommen.

Weiß da jemand weiter - vor allem wie man richtig anfängt  - ab einem bestimmten Punkt kriege ich die Umformungen bestimmt selbst hin.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Ohne es mal nachgerechnet zu haben:
Hast du mal versucht, dass wie im Beweis der geometrischen Reihe zu lösen?

Schau dir mal hier den Beweis an.
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Geometrische_Reihe

Ich denke,dass es gut möglich ist, die eine ähnliche Beweisstruktur zu nutzen.

Comments

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)q^{k}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1-\lim _{n\to \infty }(n+2)q^{n+1}+\lim _{n\to \infty }(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1-0+0}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-q)^{2}}}\end{aligned}}}$$

Das ist der Beweis - habe es jetzt doch verstanden - auf den Term nach dem zweiten Gleichheitszeichen kommt man über einen Beweis mittels Teleskopsumme.

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Super, dass du den Beweis nochmal hier festhälst.