Zeige das die Funktion im Punkt 0 unstetig und in jedem Punkt x∈ℝ \ {0} stetig ist

Question

Aufgabe:

Zeige das die Funktion im Punkt 0 unstetig und in jedem Punkt x∈ℝ \ {0} stetig ist

Problem/Ansatz:

g:ℝ→ℝ, g(x):=  {f´(x), x≠0 & 0, x=0

Comments

Überlege dir als erstes, welche Angabe wohl in der Aufgabenstellung fehlt um die Aufgabe zu bearbeiten. Ergänze diese fehlende Angabe dann in deiner Frage.

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So ist die Aufgabe gestellt. Also fehlen dürfte da eigentlich nichts. Was soll denn in der Aufgabenstellung deiner Meinung nach fehlen? :)

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Was ist denn f  ?

Answer 1

Es fehlt die Angabe zu f(x)

Wenn f(x)= cos(x) , dann ist die Aussage falsch, denn dann ist g(x) überall stetig.

Wenn f(x) =sin (x), dann ist die Aussage richtig.

Um nur zwei Beispiele zu nennen

Funktion: f:ℝ→ℝ, f(x):={x*arctan (1/x) , x ≠o ; 0, x=0}

$$y=1/x$$$$dy/dx=-1/x^2$$$$f(y)=arctan(y)/y$$$$df/dy=( y/(1+y^2)-arctan(y))/y^2$$$$df/dx=df/dy*(dy/dx)=arctan(1/x)-x/(x^2+1)$$$$\lim\limits_{x\to+ 0} (arctan(1/x)-x/(x^2+1))=$$$$\lim\limits_{x\to+ 0} arctan(1/x)-\lim\limits_{x\to+ 0} x/(x^2+1)=π/2-0=π/2≠0$$

Comments

Funktion: f:ℝ→ℝ, f(x):={x*arctan (1/x) , x ≠o ; 0, x=0}

Ist das die fehlende Angabe?

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Ob das die fehlende Angabe ist, kann ich nicht sagen doch es könnte die richtige Angabe sein.

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Ich habe nicht einmal einen Ansatz zur Lösung der Aufgabe. Ich bräuchte tatsächlich Hilfe.

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Ich habe die Antwort ergänzt.