Zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Substitution. Oberfläche Ellipsoid.

Question

Hi Community,

Aufgabe:

Berechnen Sie die Oberfläche eines Ellipsoids mit a=b und a>c. Zeigen Sie dazu mit Hilfe einer geeigneten Substitution: $$ \int \sqrt{1+x^2} \,dx = \frac{1}{2}[x\sqrt{1+x^2}+arsinh(x)]+const. $$

Mein Ansatz:

Ich parametrisierte mit dem Vektor: $$ \vec{r}=\begin{pmatrix} asin(\theta )sin(\phi ) \\ asin(\theta )cos(\phi ) \\ ccos(\theta ) \end{pmatrix} $$ da ja a=b und bei uns die Notation der Parametrisierung für die Oberfläche eines Ellipsoids durch $$ \vec{r}=\begin{pmatrix} asin(\theta )sin(\phi ) \\ bsin(\theta )cos(\phi ) \\ ccos(\theta ) \end{pmatrix} $$ üblich ist. Für den Verzerrungsfaktor folgt: $$ |J| = asin(\theta )\sqrt{c^2sin^2(\theta )+a^2cos^2(\theta )} $$ Also die Oberfläche zu berechnen sollte nicht das Problem sein. Aber wie gehe ich jetzt weiter vor um mit einer Substitution die Gleichung zu zeigen? Ich suchte nach einer geeigneten Substitution für den Ausdruck, um das Integral $$ \int_{O} asin(\theta )\sqrt{c^2sin^2(\theta )+a^2cos^2(\theta )} \,dO  $$ irgendwie in die Form $$ \int \sqrt{1+u^2} $$ zu bringen, wo ich bis jetzt aber dran scheiterte.

Vielen Dank im voraus!:)

Answer 1

Hallo

setze y=cos(Θ)  sin^2(Θ)=1-x^2 danach  noch eine einfache Substitution A^2y^2=x^2

Gruß lul

Comments

Mhhh :/ Leider verstehe ich nicht ganz wie du damit auf was schönes kommst. Mit $$ y=cos(\theta ), \quad sin^2(\theta )=1-x^2 $$ komme ich für die Jakobideterminante auf: $$ \sqrt{c^2a^2(1-x^2)^2+a^4y^2} $$ Ich nehme mal an du meinst mit dem großen A das kleine a. Wie gehst du mit der Substitution: $$ (a^{2y})^2=x^2 $$ weiter vor?