0 Daumen
706 Aufrufe

Aufgabe:

Lösen einer Differentialgleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution:

y=(x2+y2) · (2xy)1 y' = (x^2 + y^2) · (2xy)^{-1}

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

y=x2+y22xy=x2y+y2x=12(yx)1+12yxy'=\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^{-1}+\frac{1}{2}\frac{y}{x}Substituiere z : =yxz:=\frac{y}{x}, sodass y=zxy=zx bzw. y=zx+zy'=z'x+z und setze in die DGL ein:

zx+z=12z1+12z  z\left.z'x+z=\frac{1}{2}z^{-1}+\frac{1}{2}z\quad\right|\;-zzx=12z112z=z1z2=1z22z   : z\left.z'x=\frac{1}{2}z^{-1}-\frac{1}{2}z=\frac{z^{-1}-z}{2}=\frac{1-z^2}{2z}\quad\right|\;:z'x=1z22zz  Kehrwert\left.x=\frac{1-z^2}{2zz'}\quad\right|\;\text{Kehrwert}1x=2z1z2z=2z1z2dzdx  dx\left.\frac{1}{x}=\frac{2z}{1-z^2}\,z'=\frac{2z}{1-z^2}\,\frac{dz}{dx}\quad\right|\;\cdot dxdxx=2z1z2dz  Integrieren\left.\frac{dx}{x}=\frac{2z}{1-z^2}\,dz\quad\right|\;\text{Integrieren}lnx=ln(1z2)+c  e\left.\ln x=-\ln\left(1-z^2\right)+c\quad\right|\;e^{\cdots}x=11z2ec  Kehrwert\left.x=\frac{1}{1-z^2}\cdot e^c\quad\right|\;\text{Kehrwert}1x=(1z2)ec  ec\left.\frac{1}{x}=(1-z^2)\cdot e^{-c}\quad\right|\;\cdot e^cecx=1z2  +z2ecx\left.\frac{e^c}{x}=1-z^2\quad\right|\;+z^2-\frac{e^c}{x}z2=1ecx  Resubstituiere\left.z^2=1-\frac{e^c}{x}\quad\right|\;\text{Resubstituiere}y2x2=1ecx  x2\left.\frac{y^2}{x^2}=1-\frac{e^c}{x}\quad\right|\;\cdot x^2y2=x2c0x  \left.y^2=x^2-c_0x\quad\right|\;\sqrt{\cdots}y=±x2c0x;c0=const.\left.y=\pm\sqrt{x^2-c_0x}\quad;\quad c_0=\text{const.}\right.

Avatar von 153 k 🚀
0 Daumen

diese  DGL kannst Du auch als Bernoulli DGL lösen (falls behandelt)

und falls es die Aufgabe zu läßt :)

y=x2+y22xy=x2y+y2x y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}=\frac{x}{2 y}+\frac{y}{2 x}

 yy2x=x2y y^{\prime}-\frac{y}{2 x}=\frac{x}{2 y}

 yy2x=x2y1 y^{\prime}-\frac{y}{2 x}=\frac{x}{2} y^{-1}

usw.

Avatar von 121 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage