Differentialgleichung 2. Ordnung lösen y''-3y'+2y=12e^{-2x}

Question

Hallo ich habe hier folgende DGL: y''-3y'+2y=12e^{-2x}

Diese will ich lösen.

Ich mache zuerst yH (Homogene Lösung) = C1e^{2x}+C2e^{x}

Als nächstes die yP (Partikuläre Lösung)

Die sollte die Form: Ax*e^{cx} haben     Wobei c=-ALPHA+OMEGA =3/2+1/2=2

Also Yp=Ax*e^{2x} --> YP'=Ae^{2x}+2Axe^{2x} -->YP''=2Ae^{2x}+2Ae^{2x}+4Axe^{2x}

Jetzt setze ich das ein in die vorgegeben DGL und erhalte:

Ae^{2x}=12e^{-2x}

Und jetzt kommt das Problem. Normalerweise ist es doch so, dass die Hochzahlen die GLEICHEN sein müssen. Damit ich das e^{2x} kürzen kann. Dann wäre A=12. Aber irgendwas stimmt hier nicht. Da A nicht 12 ist und ich das e^{2x} mit dem e^{-2x} auch nicht kürzen kann.

Vielleicht kann mir einer von euch hier weiter helfen.

MFG Birsel

Answer 1

Hi,

Deine homogene Lösung ist korrekt.

Dein partikulärer Ansatz stimmt so nicht:

Die sollte die Form: Ax*e^cx haben

Warum diesen Ansatz? Wo kommt das x her?

Der Ansatz lautet allgemein Ae^{cx}.

Nur wenn ein Resonanzfall vorliegt kommt das x rein.

 

c = -2 (siehe rechte Seite):

y = Ae^{-2x}

y' = -2Ae^{-2x}

y'' = 4Ae^{-2x}

 

Einsetzen:

4Ae^{-2x}-3*(-2)Ae^{-2x}+2Ae^{-2x} = 12e^{-2x}

12Ae^{-2x} = 12e^{-2x}

 

Es gilt also A = 1

 

y = y_h+y_p = c₁e^x + c₂e^{2x} + e^{-2x}

Grüße

Comments

Das ist perfekt! Super

Aber warum nehme ich Ax*e^{cx} ich habe eine Formelsammlung vom Prof. diese dürfen wir in der Prüfung verwenden.

Darin heißt es:

YH:

FALL 2: (LAMBDA+ALPHA)^2 -OMEGA^2

Unten drunter:

YP:

Ax*e^{cx} im Fall 2 UND c=-ALPHA+OMEGA oder x=-ALPHA-OMEGA

A*e^{cx} , sonst c=-ALPHA

Also habe ich den Fall 2 Genommen da YH ja die obere Form (also Fall 2) ist/hat. Oder?

MFG Birsel


PS: Was meinst du mit "siehe rechte Seite" bei dem c=-2? Meinst du ind er DGL =12*e^{-2x} ? Aber in der Formelsammlung heißt es ja (siehe oben)  c=-ALPHA+OMEGA oder x=-ALPHA-OMEGA oder   c=-ALPHA.

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Mit den Bezeichnungen (griechische Buchstaben) kann ich nichts anfangen. Die sind Vorlesungsspezifisch.

Deine Aufgabe ist die Untersuchung ob ein "Resonanzfall" (Der Begriff ist bekannt?) vorliegt oder nicht. Das heißt Du nimmst den Vorfaktor des Exponenten der rechten Seite (hier -2) und vergleichst ihn mit den Nullstellen des Polynoms der homogenen Lösung. Taucht da die Nullstelle -2 auf, dann liegt ein Resonanzfall vor und Du musst tatsächlich den Ansatz y = Axe^{cx} verwenden. Tuts bei uns aber nicht und y = Ae^{cx} ist völlig ausreichend.

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Resonanzfall sagt mir nicht direkt etwas.

Ich zeig dir mal die Formelsammlung.

Ist das also ein Fehler in der Formelsammlung oder wie verstehe ich das?

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Nein, Deine Formelsammlung ist schon in Ordnung. Auch wenn ich das schon einfacher zusammengefasst gesehen habe^^.

 

Fall 1: Bedeutet doppelte Nullstelle. Doppelte Lösung also

Fall 2: Zwei unterschiedliche reelle Nullstellen

Fall 3: Zwei unterschiedliche komplexe Nullstellen

 

Für den partikulären Ansatz bedeutet dies:

Fall 1: Entspricht c der Nullstelle des Polynoms der homogenen Lösung, so muss der Ansatz Ax^2e^{cx} gewählt werden ("doppelter" Resonanzfall)

Fall 2: Entspricht c einer der Nullstellen des Polynoms der homogenen Lösung, so muss der Ansatz Axe^{cx} gewählt werden (Resonanzfall lautet der Fachbegriff dazu)

Fall 3: Ist c keine Nullstelle der obigen Fälle so gilt der allgemeine Ansatz Ae^{cx}.

 

Bei unserem Beispiel haben wir Fall 2 vorliegen -> zwei verschiedene reelle Lösungen des Polynoms.

Beim partikulären Teil ists aber Zeile 3 die vorliegt -> c ist keine der beiden Nullstellen!

 

Alright? :)

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nein leider ist noch nicht alles klar.

Denn ich versteh es nicht :-(


Es heißt doch in der Formelsammlung das Yh Fall 2 vorliegt. Und bei yP heißt es dann, wenn yH Fall 2 vorliegt, muss ich yP Fall 2 nehmen. Aber das scheint ja nicht zu passen oder?

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Da hast Du nicht genau gelesen.

Das (sogar unterstrichene) und ist wichtig. Nur wenn beides eintritt -> Fall 2 und c ist eine der Nullstellen des char. Polynoms

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Achso, jetzt wird mir das klar.
Das heißt c= IMMER das was hinter dem = im Exponent steht.

Also c ist quasi immer VORGEGEBEN durch dier Aufgabe. Ich muss hier nur überprüfen ob im Fall 2 mein C das vorgegeben ist das gleich C ist wie jenes dass ich mit Alpha und Omega errechnen kann.

Und da dies nicht der Fall ist (weil unterschiedlich) nehme ich Fall 3.


Super für dein Hilfe. Klasse.


DANKE

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So ist es :).

Viel Erfolg bei der Prüfung und gerne ;).