Beweise dim(Bild(f) =Rang(A).

Question

Aufgabe:

Wenn A eine Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f: V → W ist, so gilt
dim(Bild(f) =Rang(A).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Beweis zu diesem Satz einfach nicht. Der mir bekannte Beweis ist, dass sich eine isomorphe Abbildung f: f(v_i) → a_i finden lässt, wobei v_i die Elemente der Basis von V sind und a_i die Spalten der Darstellungsmatrix A, und dass jede isomorphe Abbildung einen Vektorraum der Dimension n auf einen Vektorraum abbildet, der dieselbe Dimension hat. Damit wäre die Annahme dann ja bewiesen. Ich verstehe leider weder, weshalb die genannte Abbildung isomorph sein soll (Genauer gesagt verstehe ich nicht, wieso sie injektiv sein soll. Surjektiv ist mir klar.), noch wieso aus der Tatsache, dass es sich um eine isomorphe Abbildung handelt folgt, dass die Dimensionen der Vektorräume identisch sind.

Answer 1

Der mir bekannte Beweis ist, dass sich eine isomorphe Abbildung f: f(vi) → ai finden lässt, wobei vi die Elemente der Basis von V sind und ai die Spalten der Darstellungsmatrix A,

In der Form stimmt das aber wohl nicht. Denn das würde ja heißen, dass V und Bild(f) die

gleiche Dimension hätten.

Ich denke mal, es ist so gemeint:

Die Abbildung f ( die lässt sich ja nicht "finden") denn sie ist ja durch f(vi) → ai

eindeutig definiert: Eine lineare Abbildung ist immer durch Angabe der

Bilder einer Basis eindeutig festgelegt.

Die Abbildung f bildet V auf den Raum ab, der durch die Spalten von A erzeugt wird.

Das ist aber ja genau Bild(f). Und andererseits ist Rang(A) gerade die Dimension des von

den Spalten von A erzeugten Raumes.