Obersumme mit Riemann-Verfahren berechnen

Question

Aufgabe

Ich soll die Obersummer einer Aufgabe Berechnen. Hierbei soll das Verfahren von Riemann genutzt werden.

f(x)= 4-x^2

Problem/Ansatz:

Mein Ansatzt sieht wie folgt aus. Mir fällt es jedoch schwer hier weiterzukommen

sn= ∑ (k = 0 bis n-1) ((2/n)*f*(k*(2/n))

Intervall (0;2)

Comments

Kein Intervall angegeben ?

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Habe ich gerade hinzugefügt.

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Intervall ist 0 bis 2

Answer 1

$$\sum \limits_{k=0}^{n-1}\frac{2}{n}\cdot f(\frac{2k}{n}) =\frac{2}{n}\cdot\sum \limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{2k}{n})$$

$$ =\frac{2}{n}\cdot\sum \limits_{k=0}^{n-1} 4-(\frac{2k}{n})^2 =\frac{2}{n}\cdot(\sum \limits_{k=0}^{n-1} 4-\sum \limits_{k=0}^{n-1}(\frac{2k}{n})^2)$$

$$ =\frac{2}{n}\cdot(4n-\sum \limits_{k=0}^{n-1}\frac{4k^2}{n^2}) =8-\frac{2}{n}\cdot\sum \limits_{k=0}^{n-1}\frac{4k^2}{n^2}$$

$$ =8-\frac{2}{n^3}\cdot\sum \limits_{k=0}^{n-1}4k^2 =8-\frac{8}{n^3}\cdot\sum \limits_{k=0}^{n-1}k^2$$

Für die Summe der Quadratzahlen gibt es ja ne Formel

$$=8-\frac{8}{n^3}\cdot\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$$

$$=8-\frac{8(n-1)n(2n-1)}{6n^3}$$

Für n gegen unendlich also 8- 16/6 = 16/3 .

Comments

Wie bist du auf 16/6 gekommen?

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Kürzen !

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{8(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{8(1-\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})}{6} $$

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Wie hast due die Formel der Quadratwurzeln eingesetzt. Habe das nicht ganz verstanden

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Könntest du bitte deine Rechnung erklären, ab dem du die Summenformel genutzt hast.