Beweis von Borel - Cantelli

Question

Aufgabe:

Hi zusammen, Könnte mir jemand bitte den Beweis von Borel-Cantelli erklären? Ich verstehe den Beweis davon nicht, wenn (A_n)_{n in ℕ} unabhängig.

Satz (Lemma von Borel-Cantelli) Seien $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A_{1}, A_{2} \cdots \in$ $\mathscr{F}$ mit
$$\sum \limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)<\infty$$
Dann gilt $\mathbb{P}\left(\left\{\omega: \omega \in A_{n}\right.\right.$ für unendlich viele $\left.\left.n \in \mathbb{N}^{*}\right\}\right)=0$
Sind $\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ unabhängig und $\sum \limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)=\infty,$ so gilt
$\mathbb{P}\left(\left\{\omega: \omega \in A_{n}\right.\right.$ für unendlich viele $\left.\left.n \in \mathbb{N}^{*}\right\}\right)=1 .$

Beweis :

Satz 2.8 :

Sei $\left(A_{i}\right)_{i \in I}$ unabhängig und $J \subseteq I .$ Dann gilt:

(i) Auch $\left(A_{i}\right)_{i \in J}$ ist unabhängig.
(ii) Setze $B_{i}=\left\{\begin{array}{cl}A_{i}^{\mathrm{C}} & i \in J \\ A_{i} & i \notin J\end{array} .\right.$ Dann ist $\left(B_{i}\right)_{i \in I}$ unabhängig.

:)

Comments

Wäre es möglich zu spezifizieren, welche Schritte du nicht nachvollziehen kannst?

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Danke erstmal für deine Antwort. Das habe ich komplett nicht verstanden

$\begin{aligned} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k \geq n} A_{k}^{\mathrm{C}}\right) &=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=n}^{m} A_{k}^{\mathrm{C}}\right)=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \prod \limits_{k=n}^{m} \mathbb{P}\left(A_{k}^{\mathrm{C}}\right)=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \prod \limits_{k=n}^{m}\left(1-\mathbb{P}\left(A_{k}\right)\right) \\ & \leq \lim \limits_{m \rightarrow \infty} \prod \limits_{k=n}^{m} \mathrm{e}^{-\mathbb{P}\left(A_{k}\right)}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{-\sum \limits_{k=n}^{m} \mathbb{P}\left(A_{k}\right)}=0 \end{aligned}$

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Wie kommt man darauf?

$\mathbb{P}\left(\bigcap_{k \geq n} A_{k}^{\mathrm{C}}\right)$

Wie haben wir hier Lim ? woher?

$\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=n}^{m} A_{k}^{\mathrm{C}}\right)$

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Sorry, kann dir da gerade nicht weiterhelfen. Der Kommentar oben war dafür gedacht, dass du es allgemein jedem einfacher machst, deine Frage zu beantworten

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Ich habe hier eine Frage und zwar :

Wir haben hier sigma-Subadditivität benutzt aber was ich nicht verstehe ist wie haben wir dann limes inferior ?

Und Wegen Stetigkeit von oben haben wir das bekommen aber wieso wurde der Schnitt nicht gelöscht?

Wie hier :

:)