Beweis von Borel - Cantelli

Question

Aufgabe:

Hi zusammen, Könnte mir jemand bitte den Beweis von Borel-Cantelli erklären? Ich verstehe den Beweis davon nicht, wenn (A_n)_{n in ℕ} unabhängig.

Satz (Lemma von Borel-Cantelli) Seien \( (\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P}) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \( A_{1}, A_{2} \cdots \in \) \( \mathscr{F} \) mit
$$ \sum \limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)<\infty $$
Dann gilt \( \mathbb{P}\left(\left\{\omega: \omega \in A_{n}\right.\right. \) für unendlich viele \( \left.\left.n \in \mathbb{N}^{*}\right\}\right)=0 \)
Sind \( \left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}} \) unabhängig und \( \sum \limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)=\infty, \) so gilt
\( \mathbb{P}\left(\left\{\omega: \omega \in A_{n}\right.\right. \) für unendlich viele \( \left.\left.n \in \mathbb{N}^{*}\right\}\right)=1 . \)

Beweis :

Satz 2.8 :

Sei \( \left(A_{i}\right)_{i \in I} \) unabhängig und \( J \subseteq I . \) Dann gilt:

(i) Auch \( \left(A_{i}\right)_{i \in J} \) ist unabhängig.
(ii) Setze \( B_{i}=\left\{\begin{array}{cl}A_{i}^{\mathrm{C}} & i \in J \\ A_{i} & i \notin J\end{array} .\right. \) Dann ist \( \left(B_{i}\right)_{i \in I} \) unabhängig.

:)

Comments

Wäre es möglich zu spezifizieren, welche Schritte du nicht nachvollziehen kannst?

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Danke erstmal für deine Antwort. Das habe ich komplett nicht verstanden

\( \begin{aligned} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k \geq n} A_{k}^{\mathrm{C}}\right) &=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=n}^{m} A_{k}^{\mathrm{C}}\right)=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \prod \limits_{k=n}^{m} \mathbb{P}\left(A_{k}^{\mathrm{C}}\right)=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \prod \limits_{k=n}^{m}\left(1-\mathbb{P}\left(A_{k}\right)\right) \\ & \leq \lim \limits_{m \rightarrow \infty} \prod \limits_{k=n}^{m} \mathrm{e}^{-\mathbb{P}\left(A_{k}\right)}=\lim \limits_{m \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{-\sum \limits_{k=n}^{m} \mathbb{P}\left(A_{k}\right)}=0 \end{aligned} \)

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Wie kommt man darauf?

\( \mathbb{P}\left(\bigcap_{k \geq n} A_{k}^{\mathrm{C}}\right) \)

Wie haben wir hier Lim ? woher?

\( \lim \limits_{m \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=n}^{m} A_{k}^{\mathrm{C}}\right) \)

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Sorry, kann dir da gerade nicht weiterhelfen. Der Kommentar oben war dafür gedacht, dass du es allgemein jedem einfacher machst, deine Frage zu beantworten

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Ich habe hier eine Frage und zwar :

Wir haben hier sigma-Subadditivität benutzt aber was ich nicht verstehe ist wie haben wir dann limes inferior ?

Und Wegen Stetigkeit von oben haben wir das bekommen aber wieso wurde der Schnitt nicht gelöscht?

Wie hier :

:)