Kombinatorik Anzahl der Möglichkeiten

Question

Aufgabe:

Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben. Überlegen Sie jeweils ob die Aufgabenstellung eindeutig ist - wenn nicht, geben Sie mögliche Interpretationen und zugehörige Modellierungen an. Entscheiden Sie, welcher der Fälle jeweils vorliegt. Geben Sie an, was im Kontext der Aufgabe das n bzw. das k der Modellierung durch Urnenziehung ist. Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten

1) Im Sportunterricht stellt der Lehrer aus 20 Schülern a) eine Volleyballmannschaft mit 6 Spielern zusammen b) eine 4er Laufstaffel zusammen

Problem/Ansatz:

Ich blicke das ganze leider nicht so durch.. hätte jetzt bei a) gesagt das ist Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen (wenn das gemeint ist?).. aber 38760 Möglichkeiten sind doch zu viel?

Answer 1

Aloha :)

Allgemein gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.

(a) Der Lehrer stellt aus \(n=20\) Schülern eine Volleyballmannschaft mit \(k=6\) Schülern zusammen:

$$\binom{20}{6}=\frac{20!}{6!\cdot14!}=38\,760\text{ Möglichkeiten}$$

(b) Hier habe ich nicht genau verstanden, ob die \(k=4\) Schüler für die Laufstaffel aus allen \(n=20\) Schülern ausgewählt werden oder nur aus den \(n=14\) Schülern, die noch nicht in der Volleyballmannschaft sind. Daher bestimmen wir einfach die Anzahl beider Möglichkeiten:

$$\binom{20}{4}=\frac{20!}{4!\cdot16!}=4\,845\text{ Möglichkeiten}$$$$\binom{14}{4}=\frac{14!}{4!\cdot10!}=1\,001\text{ Möglichkeiten}$$