Kontraktionskonstante einer Funktion berechnen

Question

Hey

Ich verstehe noch nicht ganz wie ich mathematisch richtig zeige, dass eine Funktion kontraktiv ist und wie ich daraus die Kontraktionskonstante berechnen kann.

Sei mir beispielsweise die Funktion f(x)=\( \frac{x+0,5}{x+1} \) gegeben, für das abgeschlossene Intervall 0,1. Dann folgt mit dem Mittelwertsatz:

|f(x)-f(y)|≤ |f(a)|*|x-y|

Hierbei gibt f(a) meines Verständnisses nach da Kontraktionskonstante an. Bilde ich also die Ableitung der Funktion erhalte ich

\( \frac{1}{2*(a+1)^2} \) es gilt also

|f(x)-f(y)|≤ \( \frac{1}{2*(a+1)^2} \)*|x-y|≤\( \frac{1}{2*(0+1)^2} \)*|x-y|

Also die Kontraktionskonstante c=1/2.

Ich habe jetzt ja aber nicht wirklich gezeigt dass es eine Kontraktion ist sondern nur in die Formel eingesetzt. Könnte mir jemand erklären wie genau ich Kontraktion zeigen kann?

Answer 1

Kontraktion bedeutet doch: Es gibt ein (von x und y

unabhängiges )  k mit

|f(x)-f(y)|≤   k *|x-y|

Mit dem Mittelwertsatz bekommst ja :

Es gibt ein a zwischen 0 und 1 mit

|f(x)-f(y)| =  |f`(a)|*|x-y|    (Da heißt es "gleich" ).

Und wenn du nun zeigen kannst, dass es

ein k < 1 gibt, so dass für alle a aus

dem betrachteten Intervall  |f'(a)| ≤ k gilt.

Dann ist k die Kontraktionskonstante.

Hier ist also zu betrachten

f ' (a) = 1 / ( 2 *(a+1)^2 )  und weil 0<a<1 gilt

hast du 1 < a+1 < 2 ==>   1 < (a+1)^2 < 4

==>    1/4 < 1 / (a+1)^2 < 1

==>  1/8 < 1 /  ( 2 *(a+1)^2 ) < 1/2 .

Also gilt jedenfalls für alle a aus dem Intervall

       |f ' (a)| < 1/2.