Lösungsmenge nach gauß angeben

Question

ich habe ein lgs mit gauß gelöst und das sieht in etwa so aus (zahlen sind andere, gleiche struktur)

1	0	0	0	5
0	1	0	0	6
0	0	1	0	7
0	0	0	0	0

meine frage ist, wie sieht die Lösungsmenge aus? es ist klar, dass die lösungsmenge unendlich ist aufgrund der nullzeile, aber muss x1=5, x2=6 und x3=7 mit in meine lösungsmenge? sei x4=t bringt ja nichts weil x4 bei allen anderen 0 ist. oder einfach IL = {∞} ?

Answer 1

x4 = t ist schon richtig.

In die Lösungsmenge gehören alle Tupel der Form (5; 6; 7; t)

Answer 2

Aloha :)

Deine Überleungen sind schon richtig:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\\7\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\6\\7\\0\end{pmatrix}+x_4\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Die Lösungen liegen also alle auf einer Geraden. Da \(x_4\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, kannst du stattdessen auch z.B. den Parameter \(t\in\mathbb R\) einsetzen.