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Aufgabe: Es soll ein lineares Gleichungssystem (über R) angegeben werden, mit so wenig Gleichungen wir möglich, welches folgende Lösungsmenge hat:

$$< \left(\begin{array}{l}{1} \\ {3} \\ {2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{0} \\ {3} \\ {1}\end{array}\right)> \subseteq \mathbb{R}^{3}$$


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären wie man hier vorgeht, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.

Nach der Musterlösung wäre ein mögliches LGS z.B.: 3x + y - 3y = 0

von

3x + y - 3z = 0

-3x-2y+3z=-3

irgendwie verstehe ich es immernoch nicht richtig, wie kommt man auf die beiden Gleichungen?

Du brauchst eine Ebene (oder eine Gerade) in der die gegebenen Punkte liegen. Die Gerade kann Schnitt zweier Ebenen sein (siehe meine Lösung).

irgendwie verstehe ich es immernoch nicht

Den falschen Ansatz brauchst du auch nicht zu verstehen.

magst du mir dann erklären, wie es richtig geht? ^^

Du suchst ein Gleichungssystem, dessen Lösung ein zweidimensionaler Unterraum ist.

Zunächst überlegst du dir, wieviele Gleichungen dieses System haben muss.
Hast du gar keine Gleichung (oder meinetwegen die Gleichung 0 = 0), so unterliegen die Lösungsvektoren keiner Einschränkung, der ganze n-dimensionale Vektorraum (bei dir :  n = 3) ist Lösungsraum.
Mit einer Gleichung gibt es eine Einschränkung, der Lösungsraum wird eine Dimension kleiner, er ist dann (n-1)-dimensional (bei dir also 2-dimensional).
So geht es weiter, mit jeder zusätzlichen neuen (d.h. zu den bisherigen unabhängigen) Gleichung wird der Lösungsraum wieder um eine Dimension kleiner, bis man schließlich bei n Gleichungen die Dimension 0 erreicht hat, also den sog. Nullraum, der nur noch aus dem Nullvektor o besteht.
Dieser Nullvektor ist natürlich Element jedes Raumes, also auch jedes Lösungsraumes, es kommen also immer nur Gleichungen der Form  a1·x1 + ... + an·xn = 0  infrage, aber niemals solche wie   .... = c  mit c ≠ 0 .

Du suchst also eine Gleichung  a1·x1 + a2·x2 + a3·x3 = 0 ,  bei der deine beiden Vektoren Lösungen sind, also suchst du solche Koeffizienten a1, a2 und a3, dass
a1·1 + a2·3 + a3·2 = 0  und  a1·0 + a2·3 + a3·1 = 0  wird. Löse dieses Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten.
Eine Lösung ist die angegebene  a1 = 3,  a2 = 1,  a3 = -3, alle weiteren Lösungen sind Vielfache davon, z.B.  a1 = -4,5,  a2 = -1,5,  a3 = 4,5

Geometrisch anschaulich suchst du die Gleichung einer Ebene in Koordinatenform, die durch die beiden Richtungsvektoren deines Lösungsraumes aufgespannt wird.

Bei dieser Ebene sind die Koeffizienten a1, a2 und a3 die Koordinaten eines Normalenvektors (eines Vektors der senkrecht auf der Ebene steht, dessen Länge und Richtung aber nicht festgelegt sind), den man z.B. wie oben beschrieben oder auch mit der mathematischen Operation "Kreuzprodukt" berechnen kann.

Welcher Cretin hat meinen Kommentar inhaltlich so vollkommen verfälscht ?

Und dann noch in einer so perfiden Weise, dass die Änderung nicht nachvollziehbar ist !

Ich habe das    Den falschen Ansatz brauchst du auch nicht zu verstehen   nicht geschrieben, obwohl mein Name darunter steht.

Eine Löschung von

Welcher Cretin hat meinen Kommentar inhaltlich so vollkommen verfälscht ?

Und dann noch in einer so perfiden Weise, dass die Änderung nicht nachvollziehbar ist !

Ich habe das    Den falschen Ansatz brauchst du auch nicht zu verstehen  nicht geschrieben, obwohl mein Name darunter steht.

ist keine Antwort.

1 Antwort

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Du hast einen UVR als Lösungsmenge gegeben, also ist das zugehörige LGS ein homogenes GS.

Wir haben 2 linear unabhängige Lösungsvektoren mit 3 Komponenten, also benötigen wir 3 - 2 = 1 Gleichungen. Also genau eine Gleichung. Ansatz ax + by + cz = 0 (LGS homogen, also rechte Seite = 0)

Bzw.

$$ 0 = x + \frac{b}{a}y + \frac{c}{a}z =: x + \tilde{b}y + \tilde{c}z  $$

Die Vektoren sollen jetzt Lösungen dieser Gleichung sein. Also setzen wir ein:

$$ 0 + 3\tilde{b} +1\tilde{c} = 0 \implies 3\tilde{b} = -\tilde{c} $$

$$ 1 + 3\tilde{b} + 2\tilde{c} = 0 \implies 1 + \tilde{c} = 0 \implies \tilde{c} = -1 \implies \tilde{b} = \frac{1}{3} $$

Die gesuchte Gleichung ist also \( x + \frac{1}{3}y - z = 0 \) oder vielleicht etwas schöner \( 3x+y-3z=0 \).

von 4,4 k

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