Bestimme eine Koeffizientenmatrix A so, dass die Lösungsmenge von A x = 0 ein zweidimensionaler

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Lineare Gleichungssystem
A:= \( \begin{pmatrix} 1 & 3&0 \\ 2 & 4&1\\3&1&5 \end{pmatrix} \)  x = \( \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0 \end{pmatrix} \)
a) Ist die Lösungsmenge des LGS ein ℝ-Teilraum von ℝ³?
b) Falls die Lösungsmenge ein ℝ-Teilraum ist, welche Dimension hat dieser dann?
c) Bestimme eine Koeffizientenmatrix A so, dass die Lösungsmenge von A x = 0 ein zweidimensionaler ℝ-Teilraum von ℝ³ ist.

Problem/Ansatz:

Also für die Lösungsmenge habe ich berechnet L:={0,0,0}

a) Die Lösungsmenge ergibt den Nullvektor des R³ und damit ist er auch ein R-Teilraum.

b)Hier bin ich mir nicht sicher, ich habe sowas hier gefunden:

Dim(L) = n - rang(A)

da ich für den rang(A)=3 erhalte und n=3 ist, ist somit Dim(L) = 3 - 3 = 0, also gibt es genau einen Punkt ∈ R³ und zwar die Nulldimensionale Lösung. Also hat er Dimension 0?

c) Hier bin ich mir gar nicht sicher...

Ich versuche es aber einmal:

Nehme ich die Matrix: A:= \( \begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ -1 & 0&0\\-1&0&0 \end{pmatrix} \) erhalte ich für rang(A) =1, nach b) habe ich also dim(L) = n - rang(A) = 3 - 1 = 2

Als Lösungsmenge erhalte ich L={0}

Freue mich über eure Hilfe :)

Answer 1

Außer dem Satz in Teilc)

Als Lösungsmenge erhalte ich L={0}

ist alles richtig.

Die Lösungsmenge zu  \( \begin{pmatrix} 1 & 3&0 \\ 2 & 4&1\\3&1&5 \end{pmatrix} \)  x = \( \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0 \end{pmatrix} \)

besteht aus allen Vektoren mit 1. Komponente 0 und

die anderen beiden sind beliebig.  Also ist die Lösungsmenge der

von

0                      0
1        und        0
0                      1

erzeugte 2-dim-Unterraum von R^3.