Rekonstruktionen: Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Im punkt (2/0) hat der graph die Steigung m=2 und bei x=-1 befindet sich wendestelle

Problem:

Ich muss  eine Funktion und Ableitung / notwendig Bedingungen

machen mit LGS

Text erkannt:

Aufgabe:
Aufgabe:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion bel \( x=-1 \) befindet sich eine Wendestelle.
SCHRITT 1 :
\( f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \) Allgemeine Funktionsgleichung:
\( x^{2}+2 c x+d \)
1. Ableitung:
\( f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2} \)
2. Ableitung: \( f^{\prime \prime}(x)=12 \mathrm{ax}^{2}+ \)
SCHRITT
HRITT 2 :
SCHRITT S:
SCHRITT 4:
SHRITT
abskizzieren und Anfo
s dem Text prüfen.

Answer 1

Tip: Beginne mit der Symmetrie zur y-Achse. So hast du viel weniger Unbekannte, weil keine ungeraden Exponeten von x vorkommen:

Ansatz ist dann f(x) = ax^4 + bx^2 + c .

Jetzt kannst du die andern Bedingungen aufstellen.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Im Punkt P\((2|0)\) hat der Graph die Steigung \(m=2\) und bei \(x=-1\) befindet sich eine Wendestelle.

Symmetrie:  P\((2|0)\)   → Q\((-2|0)\)

\(f(x)=a[(x-2)(x+2)(x-N)(x+N)]=a[(x^2-4)(x^2-N^2)]\\=a[x^4-N^2x^2-4x^2+4N^2]\)

Wendestelle  \(x=-1\) :

\(f'(x)=a[4x^3-2N^2x-8x]\)

\(f''(x)=a[12x^2-2N^2-8]\)

\(f''(-1)=a[12-2N^2-8]=a[4-2N^2]=0\)

\(N^2=2\)

Steigung \(m=2\) bei Wendestelle \(x=-1\):

\(f'(-1)=a[-4+12]=2\)

\(a=\frac{1}{4}\)

\(f(x)=\frac{1}{4}[x^4-6x^2+8]\)