Wegintegral strecke Parametisierung

Question

Liebe Community,

leider verstehe ich das Thema Weg integrale nicht so ganz. Wir haben diese Aufgabe bekommen und ich weiß leider nicht wie ich beginnen soll. Könnte mir jemand dabei helfen?

Aufgabe:

Wegintegrale F· ds:

F(x, y, z) = vektor (  x + 2y + z) (x² + y²+z²) (xyz)

Als Weg soll die Strecke zwischen den Punkten P1(2| − 1|3) und P2(5|2| − 1)
benutzt werden.

Vielen dank im voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Das ist eigentlich gar nicht so wild, vermutlich musst du das nur einmal ordentlich gesehen haben. Wir überlegen uns zuerst, wie wir den Weg von Punkt $P_1(2|-1|3)$ zum Punkt $P_2(5|2|-1)$ parametrisieren können. Dazu bietet sich eine Geradengleichung an:

$$\vec r=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}5-2\\2-(-1)\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+3t\\-1+3t\\3-4t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$Wir müssen noch beachten, dass wir auf der Geraden nicht über die beiden Endpunkte hinaus laufen und daher $t\in[0;1]$ einschränken.

Da wir uns entlang dieses Weges fortbewegen, können wir in dem zu integrierenden Vektorfeld die Koordinaten entsprechend einsetzen:$$\vec F=\begin{pmatrix}x+2y+z\\x^2+y^2+z^2\\xyz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(2+3t)+2(-1+3t)+(3-4t)\\(2+3t)^2+(-1+3t)^2+(3-4t)^2\\(2+3t)(-1+3t)(3-4t)\end{pmatrix}$$$$\vec F=\begin{pmatrix}5t+3\\34t^2-18t+14\\-36t^3+15t^2+17t-6\end{pmatrix}$$

Damit können wir das Wegintegral wie folgt umschreiben:

$$E=\int\limits_{C(P_1;P_2)}\vec F(\vec r)\cdot d\vec r=\int\limits_0^1F(\vec r(t))\cdot\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\begin{pmatrix}5t+3\\34t^2-18t+14\\-36t^3+15t^2+17t-6\end{pmatrix}\!\cdot\!\begin{pmatrix}3\\3\\-4\end{pmatrix}\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\left(\,(15t+9)+(102t^2-54t+42)-(-144t^3+60t^2+68t-24)\,\right)dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^1\left(\,144t^3+42t^2-107t+75\,\right)dt=\left[36t^4+14t^3-\frac{107}{2}t^2+75t\right]_0^1=\frac{143}{2}$$

Comments

Vielen lieben dank !

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Ich hätt doch noch ne Frage: in der Zeile wo E steht bei der Umschreibung, der gesamte Vektor (k) wird mit dem RV multipliziert. ich verstehe nicht warum sich dieser Vektor (k) verändert. was meinst du Da stehen plötzlich andere Werte. Vorher stand 1. Zeile x= 5t+3 dann 13t+3, warum?

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Genau genommen haben wir substituiert:$$d\vec r=\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt$$Das heißt, wir müssen den Vektor $F$ mit der Ableitung von $\frac{d}{dt}\vec r$ multiplizieren. Die "Veränderung" besteht also darin, dass die Ableitung des Vektors verwendet wurde.

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Hallo Tschaka,

Dein Ergebnis stimmt mit meinem überein, aber ab

... können wir das Wegintegral wie folgt umschreiben:

sind Dir einige Zahlen durcheinander geraten. Meine Rechnung:$$\begin{aligned} E &= \int_{t=0}^1 \begin{pmatrix}3\\ 3\\ -4\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}3& 5& 0& 0\\ 14& {\color{red}-18}& 34& 0\\ -6& {\color{red}17}& {\color{red}15}& {\color{red}-}36\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ t\\ t^2\\ t^3\end{pmatrix} \text dt\\ &= \int_{t=0}^1\begin{pmatrix}75& -107& 42& 144\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ t\\ t^2\\ t^3\end{pmatrix} \text dt \\ &= \left. \begin{pmatrix}75& -107& 42& 144\end{pmatrix} \begin{pmatrix}t\\ t/2\\ t^3/3\\ t^4/4\end{pmatrix}\right|_0^1 \\ &= \frac 12(150 - 107 + 26 + 72) = \frac{143}{2} \end{aligned}$$

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Oha, ich hatte mich anfangs verrechnet und habe das dann offenbar nicht mehr an allen Stellen korrigiert... Deswegen stimmt das Ergebnis, aber an der einen Stelle stehen noch die Zahlen von meiner ersten Rechnung.

Ich habe das korrigiert.

Vielen lieben Dank für den Hinweis ;)

Answer 2

Hallo

du kannst doch die Gerade g: s=P1+t*(P1P2) aufstellen? t von 0 bis 1.

dann ds=s'*dt  . Skalarprodukt mit deinem Vektor in dem du  die Komponenten von s eingesetzt hast.

Gruß lul