Ich habe hier eine Aufgabe, bei der man eine ganzrationale Funktionsgleichung vierten Grades durch Eigenschaften aufstellt:
Ist mein Lösungsweg im Anhang bis dahin richtig?
Der Graph berührt die x-Achse im Punkt P (4/0) und besitzt im Ursprung einen Wendepunkt.
Die dazugehörige Wendetangente hat die Steigung m = 2.
Könntet ihr den weiteren Lösungsweg aufzeigen?
\( f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \)
\( f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+d \)
\( f^{\prime}(x)=12 a x^{2}+6 b x+2 c \)
\( f^{\prime \prime}(x)=24 a x+6 b+2 \)
Eigenschaft
\( \begin{array}{ll}\text { Berührpunkteigenschaft } & \text { P } \quad(4 / 0) \\ \text { durch Ursprung } & \\ \text { Wendepunkteigenschaft } & \text { WP }(0 / 0) \\ \text { Tangentensteigungseigenschaft } & \underline{m}_{t}=2\end{array} \)
Mathematische Umsetzung
\( f(4) = 0 \)
\( f(0)=0 \)
\( f''(0)=0 \)
\( f'(0)=2 \)
Bestimmungsgleichungen
\( 256 \mathrm{a}+48 \mathrm{~b}+8 \mathrm{c}+{d}=0 \)
\( a^{*} 0^{4}+b^{*} 0^{3}+c^{*} 0^{2}+{d}^{*} 0+{e}=0 \)
\( 12 \mathrm{a}^{*} 0^{2}+6 \mathrm{~b}^{*} 0+2 \mathrm{c}=0 \)
\( 4 a^{4} 0^{3}+3 b^{*} 0^{2}+2 c^{*} 0+d=2 \)
(1) \( 256 \mathrm{a}+48 \mathrm{~b}+8 \mathrm{c} \)
(2) \( e=0 \)
(3) \( 2 c=0 \)
(4) \( d={2} \)
