Zeigen Sie, dass die Menge K' kompakt ist.

Question

Aufgabe:

Sei \(K \subset \mathbb{C}\) kompakt. Zeigen Sie, dass die Menge \( K'= \{x \in \mathbb{R}: ∃z \in K: x=Re(z) \} \) kompakt ist.

Problem/Ansatz:

Also, per Definition ist die Menge K' nur dann kompakt, wenn für alle Folgen, dessen Werte in K' liegen, eine Teilfolge existiert, sodass der Grenzwert dieser Teilfolge (Teilfolge muss also konvergieren) auch in K' liegt. Nur habe ich keine Ahnung, wie ich diese Definition für das obige Beispiel anwenden soll. Kann mir jemand erklären, wie der Beweis ausschauen muss und warum?

Comments

Gab es keinerlei Voraussetzung über K ???

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Entschuldige, habe vergessen zu erwähnen, dass K selbst auch kompakt ist. Ansonsten gibt es keine andere Voraussetzung.

Answer 1

Nach dem Satz von Heine-Borel ist M ⊂ ℝⁿ genau dann kompakt, wenn jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung enthält.

Konstruiere aus einer Überdeckung von K' eine geeignete Überdeckung von K, daraus eine endliche Teilüberdeckung von K und schließlich eine endliche Teilüberdeckung von K'.