Sind die linearen Hüllen gleich oder verschieden?

Question

Aufgabe:

Sind die linearen Hüllen von {(1,1,1),(1,0,1),(0,1,0)} und {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

gleich oder verschieden?

Ansatz:

Man kann die linearen Hüllen von beiden berechnen :

1) (r,s,r) und 2) (r,s,t)

In diesem Fall hätte ich gesagt, dass die linearen Hüllen gleich sind, da die lineare Hülle von 1) ein UVR von 2) ist.

Könnte das stimmen?

Answer 1

Aloha :)

In der ersten Hülle gibt es eine lineare Abhängigkeit:$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$Daher kann die Basis-Dimension der ersten Hülle maximal 2 sein. In der zweiten lineraen Hülle sind alle 3 Vektoren linear unabhängig voneinander (Basis-Dimension 3).

Mit anderen Worten, die beiden Hüllen sind nicht gleich.