Aloha :)
$$f_t(x)=txe^{-x^2}\quad;\quad x\le a\text{ mit } a>0$$
Bei \(x=0\) hat die Funktion \(f_t(x)\) eine Nullstelle, hier fängt die zu berechnende Fläche an. Die rechte Grenze ist durch \(x=a\) festgelegt, daher ist:$$F_a=\left|\int\limits_0^a f_t(x)dx\right|=\left|\int\limits_0^a txe^{-x^2}dx\right|=|t|\!\int\limits_0^a xe^{-x^2}dx=|t|\left[-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right]_0^a=|t|\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-a^2}\right)$$Speziell für \(a\to\infty\) konvergiert die Fläche, denn:$$F_\infty=|t|\lim\limits_{a\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-a^2}\right)=\frac{|t|}{2}$$
