Finde einen Zusammenhang der Norm \|f\|2 für solche Treppenfunktionen mit der Euklidischen Norm auf \mathbb{R}n .

Question

Aufgabe:

5) Ausgehend vom Skalarprodukt

$\langle f, g\rangle:=\int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) d x$

erhält man eine Norm auf $\mathcal{C}[0,1]$ durch $\|x\|:=\sqrt{\langle x, x\rangle},$ die sogenannte $L^{2}$ -Norm. Explizit:
$\|f\|_{2}:=\left(\int \limits_{0}^{1} f(x)^{2} d x\right)^{\frac{1}{2}}$
Betrachte nun insbesondere Treppenfunktionen auf [0,1] die in den Intervallen $\left(x_{i}, x_{i+1}\right)$ mit $x_{k}=\frac{k}{n}$ konstant sind, wobei $0=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=1$ die Unterteilung des Intervalles in $n$ gleiche Teile ist. Die $L^{2}$ -Norm funktioniert auch für solche stückweise stetige Funktionen, definiert also eine Norm für Treppenfunktionen.

Finde einen Zusammenhang der Norm $\|f\|_{2}$ für solche Treppenfunktionen mit der Euklidischen Norm auf $\mathbb{R}^{n}$.

Problem/Ansatz:

Ich seh schon, dass es da einen Zusammenhang geben muss, weil ein Integral ja eigentlich nur eine Summe ist und man da drin eine Funktion zum Quadrat hat und aus dieser Summe die Wurzel gezogen wird. ||x|| ist ja genau das.  

Ich verstehe aber nicht ganz, wie ich diesen Zusammenhang "finden" soll. Ich kann das mal als Summe von f(k/n) aufschreiben und daraus die Wurzel, aber das klingt nicht ganz so richtig. Wie finde ich hier den Bezug zur euklidischen Norm?

Comments

Hallo actopozipc, ich denke auch, dass Du richtig liegst. Die Herausforderung besteht hier wahrscheinlich darin, den von Dir in Worten beschrieben Zusammenhang mathematisch sauber auszudrücken. Liebe Grüße

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Ich habs mal als Summe aufgeschrieben und andere Student*innen haben ein 1/n hinzugefügt, wegen n gleich großen Rechtecken. Macht schon irgendwo Sinn, war nur von der Aufgabenstellung verunsichert