Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge...
Hier bauen wir uns zuerst die Koordinatenform der Ebene.
$$\vec n=\begin{pmatrix}10-5\\8-(-4)\\-9-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-5-5\\12-(-4)\\-3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\12\\-12\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-10\\16\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120\\150\\200\end{pmatrix}$$$$\vec n\cdot\begin{pmatrix}5\\-4\\3\end{pmatrix}=120\cdot5-150\cdot4+200\cdot3=600$$Damit lautet die Ebenengleichung also:$$E:\;120x+150y+200z=600$$oder auf beiden Seiten durch \(10\) dividiert:$$E:\;12x+15y+20z=60$$
1) Bei der Spurgeraden \(g_{xz}\) ist \(y=0\). Die beiden Spurpunkte sind \((5|0|0)\) und \((0|0|3)\). Die Gleichung der Spurgeraden lautet daher:$$g_{xy}:\;\vec x=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0-5\\0-0\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-5\\0\\3\end{pmatrix}$$
2) Bei der Spurgeraden \(g_{yz}\) ist \(x=0\). Die beiden Spurpunkte sind \((0|4|0)\) und \((0|0|3)\). Die Gleichung der Spurgeraden lautet daher:$$g_{yz}:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0-0\\0-4\\3-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}$$
