Wie ermittel ich die Gewinnfunktion?

Question

Aufgabe:

Kostenfunktionen

Problem/Ansatz:

Ein Unternehmen der Unterhaltungselektronik, das mit einem seiner Produkte Angebotsmonopolist ist, kennt für dieses Produkt die Nachfragefunktion mit der Gleichung

\( p(x)=-0,15 x+10,5 . \)

Die Gesamtkosten des Betriebes bei der Herstellung des Produktes werden mit der Gleichung

\( K(x)=-0,01 x^{2}+1,4 x+51 \) beschrieben. Dabei wird \( x \) in ME, \( K \) in GE und \( p \) in GE/ME angegeben.

a) Ermitteln Sie die Gleichungen der Erlös- und der Gewinnfunktion.

b) Zeichnen Sie alle Graphen gemeinsam in ein Koordin dazu notwendigen Berechnungen durch.

c) Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt des a phen der Gewinnfunktion. Interpretieren Sie diese ökonomisch.

d) Ermitteln Sie den Preis, den der Hersteller für das Produkt verlangen sollte, wenn ef seinen Gewinn maximieren will. Begründen Sie Ihre Überlegungen.

Answer 1

a)

Erlösfunktion

        \(E(x) = x\cdot p(x)\)

Gewinnfunktion

        \(G(x) = E(x) - K(x)\)

b)

• \(p(x)\)
  

  Die Funktion \(p(x)\) ist eine lineare Funktion. Der Graph ist also eine Gerade.
  

  Wähle ein Wert für \(x\) und setze ihn in die Funktionsgleichung ein. Du bekommst dann die y-Koordinate des zu dem \(x\) passenden Punktes auf der Gerade. Zeichne den Punkt ein.

  Zeichne so auch einen zweiten Punkt des Graphen ein. Zeichne die Gerade, die durch diese zwei Punkte verläuft.

• \(K(x)\)

  Die Funktion \(K(x)\) ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist also eine Parabel.
  
  Bestimme die Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) der Funktion indem du die Gleichung
  

          \( 0 = -0,01 x^{2}+1,4 x+51 \)

  löst. Zeichne die Punkte \((x_1|0)\) und \((x_2|0)\) ein.

  Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes liegt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Berechne dazu
  

          \(x_S = \frac{x_1+x_2}{2}\).

  Setze \(x_S\) in die Funktionsgleichung ein um die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen und zeichne den Scheitelpunkt ein.

  Zeichne die Parabel, die durch die drei Punkte verläuft.
  

• \(G(x)\)

  Die Funktion \(G(x)\) ist eine quadratische Funktion. Der Graph wird also nach dem gleichen Verfahren gezeichnet wie der von \(K(x)\).

c) Berechnungen siehe b). Die kleinere Nullstelle ist die Gewinnschwelle, also die Menge, ab der erstmals Gewinn erzielt wird. Die größere Nullstelle ist die Gewinngrenze, also die Menge, aber der kein Gewinn mehr erzielt wird. Der Scheitelpunkt gibt an, wieviel verkauft werden muss um den maximal möglichen Gewinn zu erzielen und wie hoch dieser Gewinn ist.

d) Setze die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes der Gewinnfunktion in die Nachfragefunktion ein.

Answer 2

Hallo,

die Erlösfunktion bildest du mit p(x) · x und die Gewinnfunktion mit E(x) - K(x).

Gruß, Silvia