Bogenlänge von Raumkurve

Question

Aufgabe:

Man berechne die Bogenlänge des Stücks der Raumkurve:

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} t^2+1\\t\\t \end{pmatrix}$$ 

von P(1,0,0) nach Q(2,1,1).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte helfen?

Ich komme hier nicht weiter, würde mich über Erklärung/Lösung sehr freuen.

Comments

Hallo,

für die Länge einer Kurve, die in dieser Form gegeben ist, gibt es eine einfache Formel (mit einem Integral). Wie habt Ihr diese formuliert? Was wäre Dein Problem damit?

Gruß

Answer 1

Hallo,

\(||\dot{\vec{x}}||=\sqrt{(2t)^2+2}=\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{2}t)^2+1}\\ L= \int_{0}^1||\dot{\vec{x}}|| dt =   \int_{0}^1\sqrt{(\sqrt{2}t)^2+1}\sqrt{2}dt \)

\(Substitution:\sqrt{2}t=sinh(z) \Rightarrow \sqrt{2}dt=cosh(z)dz\\ L=\int_{0}^{arsinh(\sqrt{2})}\sqrt{sinh^2(z)+1}cosh(z)dz=\int_{0}^{arsinh(\sqrt{2})}cosh^2(z)dz\\=\dfrac{1}{2}(arsinh(\sqrt{2})+sinh(arsinh(\sqrt{2}))cosh(arsinh(\sqrt{2}))\\=\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(arsinh(\sqrt{2})+\sqrt{2}\sqrt{3})}}\)

Das letzte Integral kann man lösen, indem man cosh^2(z) über die Definition des cosh auf die Exponentialfunktion zurückführt.

Comments

Könnten sie mir erklären wie man auf arcsinh kommt?

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\(\sqrt{2}t=sinh(z) \Rightarrow arsinh(\sqrt{2}t)=z\\ \) und dann die Grenzen für t einsetzen einsetzen