Bogenlänge Kugelkoordinaten

Question

Gegeben ist die Parameterdarstellung einer Kurve in Kugelkoordinaten:

$$\begin{pmatrix} \theta_0 + ( \theta_1 - \theta_0)t \\ φ_0 + (φ_1 - φ_0) t \\ r_0 + (r_1 - r_0)t \end{pmatrix}$$

Koordinaten gewählt wie hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten

Aufgabe:

Berechne die Bogenlänge für eine Bewegung von einem beliebigen Punkt $$p_0 = \begin{pmatrix} \theta_0 \\ φ_0 \\ r_0 \end{pmatrix}$$ zu dem Punkt $$p_1 = \begin{pmatrix} \theta_1 \\ φ_1 \\ r_1 \end{pmatrix}$$ (äquivalent zu t von 0 bis 1)

Problem/Ansatz:

Man bewegt sich also proportional in allen Koordinaten. Mein Ansatz war über das Integral der Teilstücke zu gehen also:

$$L = \int \limits_{0}^{1} ds$$

$$L = \int \limits_{0}^{1} \sqrt{ \dot r ^2 + r ^2 \dot φ ^2cos^2(\theta) + r^2 \dot \theta^2 } dt$$

Das gibt aber ein für mich analytisch nicht lösbares Integral.

Es handelt sich für mich um eine 3D Variante einer Archimedischen Spirale. Leider komme ich seit Tagen nicht weiter. Grundsächtlich sieht das ganze so einfach aus (nur lineare Beziehungen)

Findet ihr eine elegante Lösung?

Comments

Dein Ansatz sieht richtig aus. Vielleicht kann dir jemand weiterhelfen, wenn du das entstehende Integral hier mal hinschreibst.

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Gerne. Oben hat sich noch ein kleiner Fehler eingeschlichen. Es muss ein unter der Wurzel ein Sinus und nicht der Cosinus stehen.

-> $$L = \int \limits_{0}^{1} \sqrt{(r_1-r_0)^2+(r_0+(r_1-r_0)t)^2 \cdot (\theta_1 - \theta_0)^2 + (r_0+(r_1-r_0)t)^2 \cdot sin^2(\theta_0 + (\theta_1 - \theta_0)t) \cdot (φ_1 - φ_0)^2 }$$

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dt versteht sich

Answer 1

Aloha :)

Die Bogenlänge ist unabhängig on der Wahl der Parametrisierung. Hier kannst du direkt nach $t$ ableiten und die Bogenlänge sofort hinschreiben:

$$L=\int\limits_{p_0}^{p_1}\left|d\vec r\right|=\int\limits_0^1\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|\,dt=\int\limits_0^1\left|\begin{pmatrix}\theta_1-\theta_0\\\varphi_1-\varphi_0\\r_1-r_0\end{pmatrix}\right|\,dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^1\sqrt{(\theta_1-\theta_0)^2+(\varphi_1-\varphi_0)^2+(r_1-r_0)^2}\,dt$$$$\phantom{L}=\sqrt{(\theta_1-\theta_0)^2+(\varphi_1-\varphi_0)^2+(r_1-r_0)^2}$$

Comments

Danke für die Antwort.

Bei dir haben die Koordinaten aufeinander keinerlei Einfluss.

Bei größerem Radius wird bei einer Winkeländerung (z.B. delta phi) jedoch eine größere Strecke zurückgelegt.

Ganz so einfach geht es glaube ich leider nicht.