Tangengleichung angeben durch Punkt mit einer Variable

Question

Aufgabe:

Gleichung der Tangente an den Graphen f(x)= ln x, die von B (0/n) (wobei n ∈ℕ) aus an den Graphen von f gelegt wird.

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie ich die Tangente ermittle wenn ich einen Punkt außerhalb des Graphen habe. Mein Problem hier ist die Variable n. Ich weiß leider nicht wie ich mit der die Tangentengleichung lösen kann.

Außerhalb des Graphen habe ich den Ansatz, dass ich die Tangentengleichung in Abhängigkeit des Berührpunks B(a/a(x)) aufstelle und dann den gegebenen Punkt einsetze.

Answer 1

Hallo,

wähle einen beliebigen Punkt \(P(x_0|\,\ln(x_0))\) auf dem Graphen der Funktion \(y=\ln(x)\). Die Gerade durch \(B\) und \(P\) ist$$g: \quad y = \frac{\ln(x_0) - n}{x_0}x + n$$Damit diese Gerade auch eine Tangente ist, muss ihre Steigung und die Steigung von \(\ln(x)\) an der Stelle \(x_0\) überein stimmen. Folglich muss gelten$$y'(x_0) = \frac 1{x_0} = \frac{\ln(x_0) - n}{x_0} \implies x_0 = e^{n+1}$$anbei zwei Tangenten für \(n=1\) und \(n=2\)

~plot~ ln(x);x/e^2+1;{e^3|3};{e^2|2};[[-2|24|-6|9]];x/e^3+2 ~plot~

Die Gleichung für die Tangente lautet dann$$y(x) = e^{-(n+1)} x + n$$

Comments

Oh man jetzt ist es mir klar. Vielen Dank!

Answer 2

f(x)=ln(x)       →    f´(x)=\( \frac{1}{x} \)

Berührpunkt B(u | ln(u))

f´(x)=\( \frac{1}{x} \)

f´(u)=\( \frac{1}{u} \)

Tangentengleichung :

Text erkannt:

\( \frac{y-\ln (u)}{x-u}=\frac{1}{u} \)
\( y-\ln (u)=\frac{1}{u} \cdot x-\frac{1}{u} \cdot u=\frac{1}{u} \cdot x-1 \)
\( y=\frac{1}{u} \cdot x-1+\ln (u) \)
\( P(0 \mid n) \) liegt auf der Tangenten:
\( n=\frac{1}{u} \cdot 0-1+\ln (u)=\ln (u)-1 \)
\( \ln (u)=n+1 \)
\( e^{\ln (u)}=e^{n+1} \)
\( u=e^{n+1} \)
\( f(u)=\ln \left(e^{n+1}\right) \)