Finden Sie eine Basis von [a,b]

Question

Aufgabe:

1b) ich komm hier einfach nicht darauf wie ich diese Basis bilden kann. Theoretisch könnte ich doch einfach die kanonische Basis bilden. Bitte um Hilfe

Answer 1

Die gegebenen Vektoren \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\) sind eine Basis von \([\mathbf{a}, \mathbf{b}]\) der gewünschten Form.

Theoretisch könnte ich doch einfach die kanonische Basis bilden.

Ich weiß nicht, was du mit "kanonische Basis" meinst. Gib explizit an, welche Vektoren du als Basisvektoren haben willst. Dann kann ich dir erklären, warum es keine Basis von \([\mathbf{a}, \mathbf{b}]\) ist oder warum es nicht die kanonische Basis ist.

Answer 2

Aloha :)

Wir führen zunächst Teil b) durch, weil wir dadurch Teil a) zugleich erledigen. Wir rechnen die linearen Abhängigkeiten durch elementare Spaltenumformungen aus den beiden Vektoren heraus:$$\begin{array}{rr} & -2S_1\\\hline 3 & 6\\4 & -2\\3 & 6\end{array}\to\begin{array}{rr} & :(-10)\\\hline 3 & 0\\4 & -10\\3 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr}-4S_1 & \\\hline 3 & 0\\4 & 1\\3 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr}:\,3 & \\\hline 3 & 0\\0 & 1\\3 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr}\vec a' & \vec b'\\\hline 1 & 0\\0 & 1\\1 & 0\end{array}$$

Damit haben wir die gewünschte Basis gefunden:$$\vec a'=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b'=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$

Damit ist auch Teil a) erledigt, denn für alle Vektoren \(vec x\) der linearen Hülle bzw. der Basis gilt:

$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s\\t\\s\end{pmatrix}$$Es ist also \(x_1=x_2\in\mathbb R\) und \(x_2\in\mathbb R\) beliebig.