Antwort mit KI erzeugt:
Lösung:
Um die gewünschten Indizes \( i \) und \( j \) zu finden, bei deren Entfernung aus der Basis \( B = \{u_1, u_2, u_3\} \) und deren Ersetzung durch \( \{v_1, v_2\} \), die resultierende Menge immer noch eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) bildet, müssen wir die gegebenen Vektoren analysieren:
\( u_1 = \begin{pmatrix} 1 0 1 \end{pmatrix}, u_2 = \begin{pmatrix} 0 1 0 \end{pmatrix}, u_3 = \begin{pmatrix} 2 3 4 \end{pmatrix}, v_1 = \begin{pmatrix} 1 1 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 2 3 \end{pmatrix} \).
Eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) muss drei linear unabhängige Vektoren enthalten. Zuerst müssen wir prüfen, ob \( \{v_1, v_2\} \) mit jedem Vektor aus \( B \) linear unabhängig ist. Falls dies der Fall ist, können wir testen, welche Kombination von \( \{v_1, v_2\} \) und einem Vektor aus \( B \) eine Basis bildet.
Schritt 1: Überprüfen der linearen Unabhängigkeit von \( \{v_1, v_2\} \):
Da \( \{v_1, v_2\} \) eine linear unabhängige Menge sein soll, und beide Vektoren nicht skalar Vielfache voneinander sind (was offensichtlich aus ihren Komponenten erkennbar ist), können wir diesen Schritt bestätigen.
Schritt 2: Finden Sie den Vektor aus \( B \), der mit \( \{v_1, v_2\} \) eine Basis bildet:
Um zu testen, ob drei Vektoren linear unabhängig sind, können wir sie in eine Matrix schreiben und ihre Determinante berechnen. Falls die Determinante ungleich Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.
a) Überprüfen der Kombination \( \{v_1, v_2, u_1\} \):
\(
\text{det} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1
1 & 2 & 0
1 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\)
Berechnen der Determinante:
\(
= 1 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2)
\)
\(
= 2 - 1 + 1 = 2
\)
Da die Determinante ungleich Null ist, sind \( \{v_1, v_2, u_1\} \) linear unabhängig und bilden somit eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \).
Wir brauchten nicht einmal die anderen Kombinationen zu überprüfen, weil wir bereits eine gültige Basis gefunden haben. Wenn \( \{v_1, v_2, u_1\} \) eine Basis bildet, bedeutet dies, dass die gesuchten Indizes \( i \) und \( j \) so gewählt werden können, dass \( u_2 \) und \( u_3 \) entfernt werden, was \( i=2 \) und \( j=3 \) entspricht.
Schlussfolgerung:
Die Indizes, die entfernt werden können, damit \( B \backslash \{u_i, u_j\} \cup \{v_1, v_2\} \) eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) bildet, sind \( i=2 \) und \( j=3 \).
