Zeigen Sie, dass die Vektoren 1,x,x²,x³...x^n eine Basis von V bilden.

Question

Aufgabe:

Sei V der Vektorraum der Polynome mit reellen Koeffizienten und Grad höchstens gleich n, bezüglich der üblichen Addition von Polynom und Multiplikation mit reellen Zahlen.

Zeigen Sie, dass die Vektoren 1,x,x²,x³...x^n eine Basis von V bilden.

Ansatz:

Grundsätzlich ist die Aussage relativ einfach, da nahezu jede Polynom Funktion durch 1,x^1,x².... dargestellt werden kann.

Zb 2x²

0*x⁰+0*x^1+2*x².... Als linearkombination

Aber wie könnte ich das mathematisch schön beweisen?

Comments

Hallo,

"Basis" bedeutet zweierlei: Das System ist ein Erzeugendensystem und das System ist linear unabhängig. Dass \((1,x,\ldots,x^n)\) den Raum der Polynome bis zum Grad n erzeugt, ist trivial, weil gerade das die Definition dieser Polynome ist - wie Du ja angedeutet hast.

Zu zeigen ist nur die lineare Unabhängigkeit. Am besten schreibst Du mal hierhin, was es bedeutet, dass \((1,x,\ldots,x^n)\) linear unabhängig ist.

Gruß

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Gibt es womöglich eine anderen mathematischen Beweis?

Die schriftliche ist mir klar, jedoch fällt mir nicht ein, wie ich es mathematisch auffassen soll.

Answer 1

Erzeugendensystem hast du ja schon angedeutet.

Und dass die gegebenen Polynome lin. unabhängig sind bedeutet

doch  wenn  a0*1 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + .... +an*x^n = 0

also gleich dem 0-Polynom ist, dann geht das nur, wenn alle a_i = 0

sind, also sind sie lin. unbah.

Comments

Hallo mathef,

die Frage ist, ob dieser Schluss auf \(a_i=0\) beweis-pflichtig ist? Könntest Du einen Beweis in 2 Sätzen angeben?

Gruß