Eine Matrix A angeben mit Eigenschaften bzgl Eigenräumen

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Matrix $$A \in M_{3}(\mathbb{Q})$$ an, so dass für die lineare Abbildung $$f: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3}, x \mapsto A x$$, gilt, dass


$$V_{1}(f)=\left\langle\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\rangle, \quad V_{0}(f)=\left\langle\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right\rangle$$
und begründen Sie, dass die Matrix A die angegebene Eigenschaft hat, oder begründen Sie, warum es eine solche Matrix nicht gibt.
(Wie üblich bezeichne V_λ(f) den Eigenraum des Endomorphismus ƒ zum Eigenwert λ.)

Problem/Ansatz:

wäre das richtig, wenn man sagt, dass Dim(V₁(f)+ V₀(f))=2≠3 und daher kann es so ein A nicht geben?

Comments

Hallo,

ich verstehe die Aufgabe so, dass die Angaben notwendig erfüllt sein sollen, die gesuchte Matrix aber noch weitere Eigenschaften haben kann, z.B. dass $V_2(f)$ durch den Vektor (1,0,0) aufgespannt wird.

Gruß

Answer 1

Ich denke

2   0   0
0   0   1
0   0   1

wäre eine geeignete Matrix.

Comments

Danke, könnten Sie mir sagen, wie man da genauer vorgeht? Ich finde nur Ideen zu Beispielen, wo 3 Eigenvektoren zu 3 Eigenwerten gegeben sind.

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Genau das hat mathef gemacht.