Bestimme die Lösungsmenge und gib vorher die Definitionsmenge an

Question

Aufgabe:

Bestimme die Lösungsmenge. Gib vorher die Definitionsmenge an

a) \( \frac{4}{x-1}=\frac{2}{x-2} \)

c) \( \frac{8}{x+4}=\frac{12}{1-x} \)

b) \( \frac{4}{x+5}=\frac{1}{x-1} \)

d) \( \frac{3}{x-4}=\frac{15}{x+1} \)

Vielen Dank im Voraus :) <3

Answer 1

Aloha :)

Die Aufgaben laufen alle nach demselben Schema:

Die Nenner dürfen nicht Null werden, also ist die Definitionsmenge \(D=\mathbb R\setminus\{1;2\}\).

$$\left.\frac{4}{x-1}=\frac{2}{x-2}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{x-1}{4}=\frac{x-2}{2}\quad\right|\cdot4$$$$\left.x-1=2x-4\quad\right|-x$$$$\left.-1=x-4\quad\right|+4$$$$\left.x=3\quad\right.$$

Die Nenner dürfen nicht Null werden, also ist die Definitionsmenge \(D=\mathbb R\setminus\{-4;1\}\).

$$\left.\frac{8}{x+4}=\frac{12}{1-x}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{x+4}{8}=\frac{1-x}{12}\quad\right|\cdot24$$$$\left.3x+12=2-2x\quad\right|+2x$$$$\left.5x+12=2\quad\right|-12$$$$\left.5x=-10\quad\right|:\,5$$$$x=-2$$

Die Nenner dürfen nicht Null werden, also ist die Definitionsmenge \(D=\mathbb R\setminus\{-5;1\}\).

$$\left.\frac{4}{x+5}=\frac{1}{x-1}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{x+5}{4}=x-1\quad\right|\cdot4$$$$\left.x+5=4x-4\quad\right|-x$$$$\left.5=3x-4\quad\right|+4$$$$\left.9=3x\quad\right|:\,3$$$$x=3$$

Die Nenner dürfen nicht Null werden, also ist die Definitionsmenge \(D=\mathbb R\setminus\{-1;4\}\).

$$\left.\frac{3}{x-4}=\frac{15}{x+1}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{x-4}{3}=\frac{x+1}{15}\quad\right|\cdot15$$$$\left.5x-20=x+1\quad\right|-x$$$$\left.4x-20=1\quad\right|+20$$$$\left.4x=21x\quad\right|:\,4$$$$x=\frac{21}{4}$$

Answer 2

a) Man kann nicht durch 0 teilen.

Definitionsbereich sind allso alle reellen Zahlen außer die Lösungen der Gleichung

        \(x-1  =0\)

und der Gleichung

        \(x-2 = 0\).

Zwischenziel bei Bruchgleichungen ist, dass keine Variable mehr im Nenner steht. Das erreicht man indem man mit dem Nenner multipliziert:

        \(\begin{aligned} \frac{4}{x-1} & =\frac{2}{x-2} &  & |\cdot\left(x-1\right)\\ \frac{4\cdot\cancel{\left(x-1\right)}}{\cancel{x-1}} & =\frac{2}{x-2}\cdot\left(x-1\right)\\ 4 & =\frac{2}{x-2}\cdot\left(x-1\right) &  & |\cdot\left(x-2\right)\\ 4\cdot\left(x-2\right) & =\frac{2\cdot\cancel{\left(x-2\right)}}{\cancel{x-2}}\cdot\left(x-1\right)\\ 4\cdot\left(x-2\right) & =2\cdot\left(x-1\right) \end{aligned}\)

Jetzt hast du eine lineare Gleichung, die wie üblich gelöst werden kann.